Radical

[zenaf]

Bonjour.
J'ai un exercice et je me posais une question:
Soit A un anneau. rad(A) l'intersection des ideaux a gauche maximaux de A.

Montrer que rad(A/rad(A))={0}

Alors je suis partie de cela:
rad(A/rad(A))={0}<=>(0) est maximal dans A/rad(A)<=>A/rad(A) est un corps.

Mais je ne vois pas comment montrer que A/rad(A) est effectivement un corps.
Je sais qu'il s'agit d'un anneau (rad(A) étant un idéal bilatere) mais je ne sais pas comment définir l'inverse d'un élément non nul...

[Nightmare]

Salut !

Pourquoi ne pas regarder un peu comment on construit A/rad(A) ?

[yos]

rad(A/rad(A))={0}(0) est maximal dans A/rad(A)

Ca me semble faux ce truc. Une intersection peut être vide ou réduite à 0 sans qu'aucun facteur le soit.

[zenaf]

ca c'est pas bete ^^
Sinon qu'est ce que tu veux dire par la Nightmare?

[zenaf]

je suis donc le seul a pas voir les ideaux maximaux de A/rad(A) ?
:'(

[yos]

De façon générale, les idéaux de A/I sont les images des idéaux de A contenant I dans la surjection canonique.

[zenaf]

peut t'on dans ce cas faire le raisonnement suivant ?
Soit I un idéal de A/rad(A). Alors les éléments de I sont des éléments de A/rad(A) ie les classes d'équivalences des éléments de A. 0 appartient évidemment à tout Ideal de A/rad(A).
De plus, pour tout autre ideal maximal de A/rad(A) (notons le J), I inter J = (0) car les classes d'équivalences forment une partition de A/rad(A).

Ca va ca ?

[yos]

Non, pas du tout.
Ou te sers-tu de radA?
Une partition, c'est "intersection vide". D'ailleurs les idéaux sont pas les classes de A modulo radA.

Je t'écris ce qui me vient :

la surjection canonique.
Le radical de A/radA est l'intersection des où les sont les idéaux maximaux de A (point à détailler).
Si x est dans tous les :, tu peux supposer que c'est tous les mêmes puisque si alors , donc . Finalement, x est dans l'image par s de l'intersection des (qui doit être rad(A)).