Racine carrée

[Romanouch]

Bonjour,

A chaque fois j'hésite, alors je me décide à poser la question.
Quand je calcule , j'obtiens 2 et -2 ou uniquement 2?

Et pourquoi... :hum:

Merci de votre aide. :we:

[jlb]

Bonjour,

A chaque fois j'hésite, alors je me décide à poser la question.
Quand je calcule , j'obtiens 2 et -2 ou uniquement 2?

Et pourquoi... :hum:

Merci de votre aide. :we:

2, c'est la définition!! est le nombre positif x tel que x²=4.

[Romanouch]

2, c'est la définition!! est le nombre positif x tel que x²=4.

Ok, c'est juste par définition... bon. Merci.

Mais alors quel "concept" si j'ose dire, décrit le fait que -2 x -2 = 4?

Ce qui m'embrouille je pense, c'est qu'un nombre complexe possède n racines n-ièmes complexes. Jusque là ok. Mais quand je calcule les racines quatrièmes de 16 (par exemple), j'obtiens, entre autre, 2 et -2, toutes les deux réelles. Est-ce encore simplement que, par définition, une racine d'un nombre positif doit être positive et celle d'un nombre négatif doit être négative?

Et dans ce cas, même question sur le "concept", car -2 x -2 x -2 x -2 fait bien 16, malgré la définition.

Si quelqu'un peut m'éclairer, je le remercie d'avance.

[Sylviel]

Il y a effectivement deux notions qui portent le même non :

- x est une racine énième de y si x^n=y (en général on parle de cela dans les complexes)
- la fonction racine carré qui par définition va de R^+ dans R^+. Cette fonction choisit l'une des racines carré (celle qui est positive)...

[beagle]

\sqrt(a) x \sqrt(a) = a

et

-\sqrt(a) x - \sqrt(a) = a

pas trop génant je trouve de prendre \sqrt(a) positif alors qu'il y a deux solutions.

[Romanouch]

Il y a effectivement deux notions qui portent le même non :

- x est une racine énième de y si x^n=y (en général on parle de cela dans les complexes)
- la fonction racine carré qui par définition va de R^+ dans R^+. Cette fonction choisit l'une des racines carré (celle qui est positive)...

D'accord, j'y vois plus clair niveau vocabulaire disons. Merci.

Alors, si t=4 et u^2=t. A quoi est égal u?
J'aurais tendance à dire 2 ou -2, mais si je l'écris comme ceci:



Là d'un coup je sais plus!

[Romanouch]

pas trop génant je trouve de prendre \sqrt(a) positif alors qu'il y a deux solutions.

A mon avis ya souci dans tes calculs.
Et puis, le principe de "pas trop gênant", en maths, connais pas: si dans un calcul je choisis une solution plutôt qu'une autre, j'aimerais savoir pourquoi je le fais.

[Sylviel]

Sauf que tu n'as pas le droit d'écrire une équivalence :dodo:

u²=4 <=> u²-4=0 <=> (u-2)(u+2)=0
<=> u=2 OU u)-2

Il y a deux solutions à ton équation... Tout comme (dans C) il y a n solutions à x^n=t (pour t fixé, non nul).

[beagle]

A mon avis ya souci dans tes calculs.
Et puis, le principe de "pas trop gênant", en maths, connais pas: si dans un calcul je choisis une solution plutôt qu'une autre, j'aimerais savoir pourquoi je le fais.

Vi, j'en ai mis trop, j'ai corrigé.
pour le génant, c'est toi qui est géné, on te donne des idées pour stabiliser , si cela ne te fait rien, tant pis, pas grave.

[beagle]

au collège, certains momes sont troublés par ceci:
5-3 = 5 + (-3)
un opérateur d'addition-soustraction, est échangé en un nombre,
c'est perturbant,
ben faut prendre des exemples éventuellement plus concrets et arriver à se persuader que tout va bien en écrivant cette transformation,
bref oui,
2x2 = -2x-2
et racine carrée de a x racine carrée de a = - racine carrée de a x - racine carrée de a

[Romanouch]

Sauf que tu n'as pas le droit d'écrire une équivalence :dodo:

u²=4 u²-4=0 (u-2)(u+2)=0
u=2 OU u)-2

Il y a deux solutions à ton équation... Tout comme (dans C) il y a n solutions à x^n=t (pour t fixé, non nul).

Ok, si je comprends bien, on prend les racines 2ièmes de 4 et non pas les racines carrées.
J'étais vraiment passé à côté de cette subtilité.

Y-a-t-il une écriture pour "racine 2ième" permettant de différencier le concept de la racine carrée?

Bon, dans l'exercice qui m'intéresse, et qui est un simple changement d'indice dans une intégrale, je suis amené à faire ceci.

Je veux calculer

Changement d'indice:

si alors
si alors

Bon, le résultat correct se trouve pour u=1 et u=2, mais voilà, je ne comprends pas pourquoi on choisit ces valeurs plutôt que les autres.

Et ça m’embête de ne pas comprendre...

[Romanouch]

Ne le prend pas mal. C'est juste que j'ai l'impression que ma question ne vient pas du simple fait que -2 x -2 = 2 x 2. Enfin j'espère! :))

[Sylviel]

Pour pouvoir faire un changement de variable tu as besoin d'une bijection.

Tu peux prendre
t -> V(t)
ou
t -> - V(t)
ça donneras la même chose...

[beagle]

Ne le prend pas mal. C'est juste que j'ai l'impression que ma question ne vient pas du simple fait que -2 x -2 = 2 x 2. Enfin j'espère! )

je ne le prends pas mal, mais ta question intiale était de savoir si -2 est une autre écriture de racine carrée de 4,
j'ai répondu à ce niveau, comme jlb et sylviel te l'ont dit racine carrée est le nombre positif qui multiplié par lui-mème donne ...

[Romanouch]

Pour pouvoir faire un changement de variable tu as besoin d'une bijection.

Tu peux prendre
t -> V(t)
ou
t -> - V(t)
ça donneras la même chose...

Oui, maintenant j'ai compris.
Merci de tes explications.

A la prochaine.

[Matt_01]

Au passage pas besoin de changement de variable si tu connais la dérivée de la fonction racine carrée.

[Romanouch]

je ne le prends pas mal, mais ta question intiale était de savoir si -2 est une autre écriture de racine carrée de 4,
j'ai répondu à ce niveau, comme jlb et sylviel te l'ont dit racine carrée est le nombre positif qui multiplié par lui-mème donne ...

Ok, alors merci d'avoir répondu.

[Ben314]

Y-a-t-il une écriture pour "racine 2ième" permettant de différencier le concept de la racine carrée?

Perso, comme beaucoup d'autres matheux, je pouse même l'ambigüité jusqu'à parler de "racine carrée" dans les deux cas de figure, MAIS ce qui fait la différence entre les deux sens, c'est l'article que je vais mettre devant "racine carrée".
Exemple :
La racine carrée de 4 est 2 <- O.K.
La racine carrée de 4 est -2 <- Faux
Une (des) racine(s) carrée(s) de 4 est 2 <- O.K.
Une (des) racine(s) carrée(s) de 4 est -2 <- O.K.
Les racines carrées de 4 sont -2 et 2 <- O.K.
-2 est la racine carrée de 4 <- Faux
-2 est une (des) racine(s) carré(s) de 4 <- O.K.

Tu as exactement le même problème pour des tas d'autre notions en math, par exemple lorsque l'on parle de mesures d'angles où on distingue la notion de "mesure quelconque" d'un angle :
"Une des mesure de l'angle alpha est 5.pi/2. Une autre mesure de alpha est -pi/2. Les mesures de l'angle alpha sont les -pi/2+k.pi avec k dans Z"
Et il y a aussi la notion de "mesure principale" (dans ]-pi,pi] le plus souvent) qui elle est unique.
Donc avec le même alpha que précédement, la mesure principale de alpha est -pi/2, et c'est la seule mesure principale de l'angle.

Si on voulait reprendre la même terminologie, on pourait dire que 2 est "la racine principale" de 4 et que -2 est une "racine quelconque" (non principale)

[beagle]

Perso, comme beaucoup d'autres matheux, je pouse même l'ambigüité jusqu'à parler de "racine carrée" dans les deux cas de figure, MAIS ce qui fait la différence entre les deux sens, c'est l'article que je vais mettre devant "racine carrée".
Exemple :
La racine carrée de 4 est 2 <- O.K.
La racine carrée de 4 est -2 <- Faux
Une (des) racine(s) carrée(s) de 4 est 2 <- O.K.
Une (des) racine(s) carrée(s) de 4 est -2 <- O.K.
Les racines carrées de 4 sont -2 et -2 <- O.K.
-2 est la racine carrée de 4 <- Faux
-2 est une (des) racine(s) carré(s) de 4 <- O.K.


Si on voulait reprendre la même terminologie, on pourait dire que 2 est "la racine principale" de 4 et que -2 est une "racine quelconque" (non principale)

si on reprend la définition de racine carrée apprise au collège (mon niveau quoi!) la racine carré de b est le nombre a qui multiplié par lui mème donne b:
axa = b (et peu importe l'ordre du axa hein Ben!)
alors on va avoir -a x -a qui marche aussi dans la définition, si on ne restreint pas aux positifs.
donc pourquoi pas ce que tu nous a mis ci-dessus,
mais du coup comment notes-tu cela,
car tout de mème le signe racine carré,
racine carré de 4 n'est pas également -2 comme la question initialement posée au début du fil.

[Carpate]

si on reprend la définition de racine carrée apprise au collège (mon niveau quoi!) la racine carré de b est le nombre a qui multiplié par lui mème donne b:
axa = b (et peu importe l'ordre du axa hein Ben!)
alors on va avoir -a x -a qui marche aussi dans la définition, si on ne restreint pas aux positifs.
donc pourquoi pas ce que tu nous a mis ci-dessus,
mais du coup comment notes-tu cela,
car tout de mème le signe racine carré,
racine carré de 4 n'est pas également -2 comme la question initialement posée au début du fil.

Ca voudrait dire que l'expression serait -a ou +a, ce qui n'est pas possible, l'image d'un réel par une fonction doit être unique.
C'est pour cela que l'on définit comme le nombre positif qui élevé au carré donne

L'autre racine est