Racine carrée complexe

[cedricphilibert]

bonjour je n'arrive pas a faire la racine carré de 8-6i :


Moi: je fait le module ca fait racine : 100 donc module =10 mais apres l'angle je trouve pas car ca fait 4/5 pour cos et i3/5 pour sin . . . ce n'est pas un angle remaquable si ?


merci

[arttle]

He non je ne crois pas
Par contre tu pourrais peut-être essayer de dévelloper (a+ib)² et d'identifier partie réelle et imaginaire

[Nightmare]

Salut,

sinon remarque que 8-6i=9-6i-1=(3-i)²

:happy3:

[cedricphilibert]

Salut,

sinon remarque que 8-6i=9-6i-1=(3-i)²

:happy3:

jolie :p merci

[euler21]

Bonjour
dans le cas où tu ne remarques pas le début d'une identité remarquable, il y a une méthode générale pour résoudre l'équation z²=Z sur les complexes: il suffit de remarquer que cette équation est équivalente au système z²=Z et |z²|=|Z|.
Après tu développes les parties réelles et imaginaires et tu trouves des résultats généraux.

[Benjamin]

Si on n'a pas les yeux de Nightmare, il suffit d'exprimer l'argument en fonction de atan (sans chercher à le calculer) puis se rappeler que cos(atan(x))=1/sqrt(1+x²) et que sin(atan(x))=x/sqrt(1+x²).

Mais les calculs sont alors longs et fastidieux :P

[cedricphilibert]

Si on n'a pas les yeux de Nightmare, il suffit d'exprimer l'argument en fonction de atan (sans chercher à le calculer) puis se rappeler que cos(atan(x))=1/sqrt(1+x²) et que cos(atan(s))=x/sqrt(1+x²).

Mais les calculs sont alors longs et fastidieux

Ui mais j'ai pas trop vu ce genre de truc que tu ma sortis mwahahah :doh: , mais merci je pense y arriver avec toutes vos rep ;p

[Benjamin]

Tu feras gaffe à ma deuxième formule, un copier/coller un peu trop rapide xD. Elle est fausse.

Pourquoi cos(atan(x))=1/sqrt(1+x²) et sin(atan(x))=x/sqrt(1+x²) ? Et bien, on peut considérer le nombre complexe z=1+i*x.
On sait que arg(z)=atan(x/1). On sait aussi que Re(z)=|z|*cos(arg(z)). Or Re(z)=1 dans notre cas, tu as donc 1=cos(atan(x))*|z|=cos(atan(x))*sqrt(1+x²).

On sait aussi que Im(z)=|z|*sin(arg(z)). Or Im(z)=x dans notre cas, tu as donc x=sin(atan(x))*|z|=sin(atan(x))*sqrt(1+x²).

On en tire d'ailleurs assez facilement la formule générale suivante :
z=a+i*b
Re(sqrt(z))=sqrt(|z|+a)/sqrt(2)
Im(sqrt(z))=sqrt(|z|-a)/sqrt(2)*b/abs(b)

[cedricphilibert]

Bonjour
dans le cas où tu ne remarques pas le début d'une identité remarquable, il y a une méthode générale pour résoudre l'équation z²=Z sur les complexes: il suffit de remarquer que cette équation est équivalente au système z²=Z et |z²|=|Z|.
Après tu développes les parties réelles et imaginaires et tu trouves des résultats généraux.

oui bah je comprend toujours ps . . . j'ai le module avec ce que tu me fait maiks tj pas l'argument ? :/ un exemple serai la bienvenu ;p

[arttle]

Heu c'est bien gentil toute vos théories mais si je me trompe pas, un nombre complexe admet deux racines et pas une seule.

[euler21]

oui bah je comprend toujours ps . . . j'ai le module avec ce que tu me fait maiks tj pas l'argument ? :/ un exemple serai la bienvenu ;p

Bonsoir
si on note z=x+iy et Z=X+iY. la première équation z²=Z te donne les 2 équations (x²-y²)=X et 2xy=Y.
l'équation |z²|=|Z| te donne x²+y²=racine(X²+Y²)
la première et la 3ème équation te permettent de trouver les valeurs de x² et de y² la deuxième équation te permet de trouver une contrainte sur le signe du produit xy pour n'avoir que deux solutions.

[Zavonen]

Heu c'est bien gentil toute vos théories mais si je me trompe pas, un nombre complexe admet deux racines et pas une seule.

Elles ne seraient pas opposées par hasard ?

[euler21]

salut!
oui les racines sont opposées