Question sur le Cardinal de R

[Julien8]

Bonsoir à tous, je m'intéresse (en loisir) à l'hypothèse du continu, cependant une affirmation dans mes lectures m'interpelle et je suis à la recherche d'une preuve (lien, pdf, n'importe quoi), preuve que je n'ai pas trouvé dans mes lectures.

Voici l'affirmation:
" card()="

Si jamais quelqu'un a un lien de démonstration je suis preneur!

Merci beaucoup!

[Doraki]

Prend f : R -> P(N), définie par f(x) = {n / n = 2^a * 3^b * 5^c, b>0, et (-1)^c * a/b Prend g : P(N) -> R, définie par g(A) = somme pour n dans A des 10^-n. C'est pas trop dur de montrer que g aussi est injective.

Ensuite y'a un théorème qui dit que si t'as deux ensembles avec une injection dans chaque sens entre ces duex ensembles, ils sont en bijection (si t'as l'axiome du choix)

[Julien8]

Wow d'accord ! Merci beaucoup, est ce que si l'axiome du choix n'est pas admis l'affirmation reste démontrable ?

[Doraki]

Oui en prenant une injection de R dans P(N) plus sympa, qui rate seulement un nombre dénombrable de parties de N, puis en corrigeant explicitement cette injection pour en faire une bijection.

[Julien8]

Merci beaucoup ! Bonne soirée. :)

[ffpower]

Doraki: Cantor Bernstein n'utilise pas l'axiome du choix :zen:

[nodjim]

Les mathématiques de cardinalité des infinis semblent bien extravagantes pour l'oeil du profane que je suis.
On peut intercaler un rationnel entre 2 réels (on dira 2 irrationnels pour simplifier)
Les réels ne sont pas dénombrables, donc sans doute les irrationnels aussi.
Les rationnels sont dénombrables.
ça ressemble plutôt à un paradoxe.

[Doraki]

C'est un paradoxe quand tu utilises ton intuition pour comprendre une phrase plutôt que les définitions des termes employés.

[leon1789]

On peut intercaler un rationnel entre 2 réels (on dira 2 irrationnels pour simplifier)
Les réels ne sont pas dénombrables, donc sans doute les irrationnels aussi.
Les rationnels sont dénombrables.
ça ressemble plutôt à un paradoxe.

Oui, à première vue, cette histoire peut interpeller. Cela dit, le fait de pouvoir intercaler un rationnel entre deux réels donnés, c'est ce qu'on appelle la densité de Q dans R. Autrement dit, tout réel est le limite d'une suite rationnelle. On joue avec une approximation d'un réel par des rationnels.

La dénombrabilité de Q n'est pas mis en cause pour autant.

Idem avec l'ensemble des fonctions continues sur un intervalle [a,b] : son cardinal est supérieur à celui de R, c'est dire qu'il y en a un paquet de fonction continues ! Et pourtant les polynômes à coefficients rationnels y sont denses, bien que dénombrables.

[Julien8]

La dénombrabilité et tout le travail de Cantor dessus sont passionnants.

Notamment quand on sait que les nombres calculables sont dénombrables, ainsi R est composé essentiellement de nombres... non calculables. C'est assez étrange et beau à la fois!