Question limite chaîne de Markov

[utilisateur123]

Bonjour,


On s'intéresse à l'infini. 3 possibilités se présentent:

a. le vecteur qui donne les probabilités des différents états appartenant à la classe persistante n'a pas de limite.
b. le vecteur qui donne les probabilités des différents états appartenant à la classe persistante a une limite qui dépend des probabilités de ces états "au début"
c. le vecteur qui donne les probabilités des différents états appartenant à la classe persistante a une limite qui est indépendante des probabilités au début.

Pourquoi la réponse est c? Je trouve une classe persistante: {1,2,3,4}.
La probabilité au début c.a.d à t = 0, on a P(X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = P(X = 4) = 0?

Merci

[pascal16]

vu de loin, j'ai jamais fait la théorie sur ce genre de problème :
5,6,7,8,9,10 forment un groupe qui se font des échanges.
mais 10 en envoie systématiquement une partie vers le groupe 1,2,3,4.

donc au final {5,6,7,8,9,10} se tarie, et {1,2,3,4] capte tout.

soit la limite de p(1)+p(2)+p(3)+p(4)=1
et limite de p(5)=limite de p(6)=limite de p(7)=limite de p(8)=limite de p(9)=limite de p(10)=0

en étudiant seulement la matrice 4x4 (j'ai juste élevé la matrice à la puissance 100), on trouve un état limite (10/23,2/23,1/23,10/23), que l'on complète en (10/23,2/23,1/23,10/23,0,0,0,0,0,0) qui est donc indépendant de l'état probabiliste de départ.

Pour ce qui est de la proba de départ, c'est forcément un vecteur de composantes positives dont la somme fait 1.

tu as sans doute un cours qui te permet de prouver tout ça

[pascal16]

J'ai parcouru vite fait le cours de 50 pages de l'ENS sur le sujet. Le vocabulaire est un lourd à digérer, mais le principe de base est peut-être celui-ci, certains contributeurs ici auront des avis plus pertinents.

faire le diagramme de transition associé à la matrice

1/ regarder les périodes
2/ vérifier qu'on a pas le problème de périodicité
3/ trouver l'état stable
4/ conclure qu'avec un état stable et le critère d'apériodicité, l'état stable est aussi la limite

NB : la limitation à système 4*4 est bien justifié aussi, il permet sans doute de conclure

"donc au final {5,6,7,8,9,10} se tarie, et {1,2,3,4] capte tout."
avec le bon vocabulaire : les classes de communication sont {1,2,3,4}, {5,6,7,8,9} et {10}
{1,2,3,4} étant irréductible, on a des résultats plus facilement