Question fastoche

[simplet]

Salut à tous,
alors g une question qui m'énner've au plus au point , car elle est simpliste et je n'y arrive pas...

alors on pose norme Np(f)=int[val(f)^p] ^1/p (ou int = intégrale)

Et ce que je veux savoir c'est pourquoi si p
facile pour p=1<2=q en utilisant Cauchy chwarz mais apres...


Merci de me répondre (par ce que je suis furax!! :-)

(merci)

[Touriste]

Salut,

Sauf erreur, en toute généralité, c'est faux ! Tu te places dans quel espace exactement ?

[simplet]

ah oui, je me place dans l'espace des fonctions continues sur un intervalle (disons de 0 à 2pi);
Je ne pense pas que ce soit vrai pour cet espace, mais sans doute est-ce vrai dans l'espace quotient, des fonctions continues sur un intervalle quotienté par la relation d'équivalence "égalité sauf en un nombre fini de points".

mercii

[simplet]

la démonstration pour q=1<2=p :
On a le produit scalaire sc(f,g)=int(fg) , d'ou d'ap cauchy chwarz:

N1(f)= sc( val(f) , 1 ) < N2(f) N2(1) = N2(f)

[mln]

"N2(f)N2(1) = N2(f)" pas toujours ca dépend de tes bornes d'intégration.

[simplet]

Je pensais que c'était une propriété générale.
Peut etre que ce n'est vrai qu'avec le produit scalaire suivant alors:
sc(f,g)= (1/2pi) int((fg) ,de 0 à 2pi)

en tout cas le résultat du premier post est écrit tel quel dans mon cours...

[abcd22]

Bonjour,
En fait dès qu'on est sur un espace de mesure finie on a si (c'est faux en général, par exemple sur , est dans mais pas dans ).
L'inégalité si est vraie avec une mesure de probabilité (si la mesure est finie, mais pas de probabilité, on a la constante , où est la mesure et l'espace). Dans l'exemple que tu donnes si on intègre par rapport à la mesure sur on a bien une mesure de probabilité.
On peut montrer ces propriétés en utilisant l'inégalité de Hölder qui généralise Cauchy-Schwarz, ou l'inégalité de Jensen dans le cas des mesures de probabilité.

[simplet]

justement, je n'y arrive pas....

[abcd22]

Avec Jensen : si , l'application est convexe, donc pour toute fonction continue sur , , on élève à la puissance et on a .

Pour une mesure finie quelconque, l'inégalité de Hölder avec donne pour toute fonction mesurable , et tous et tels que . Si , on applique cette inégalité à , avec , ce qui donne , et en élevant à la puissance on obtient .
Dans les deux cas la difficulté c'est de trouver à quelle fonction appliquer les inégalités (bon pour Hölder c'est dans mon cours j'ai pas eu de mal).

[simplet]

merci beaucoup