Quantité de substance

[mehdi-128]

Bonjour, je bloque sur l'exercice suivant :

Une substance A se décompose en 2 substance X et Y.

Au temps t=0, on suppose que l'on dispose d'une quantité a de substance A et d'une quantité nulle des substances X et Y.

On suppose que la quantité x(t) de substance X, au temps t se forme à une vitesse x'(t) proportionnelle, à chaque instant t, à la quantité de substance A qu'il reste à cet instant, de même pour y(t).

Enfin, on suppose qu'au bout d'une heure la moitié de la substance A s'est décomposée donnant a/8 de substance X et (3a)/8 de substance Y.

1) Montrer qu'au bout de 4 heures, les 15/16 de la substance A se sont décomposés.

2) Déterminer x(t) et y(t) en fonction de t et de a.

Voilà, je ne sais pas par ou commencer. :briques:

Merci d'avance ...

[mehdi-128]

Personne n'a une idée .....

[mehdi-128]

Petit up .... :help: :help:

[Ben314]

Salut,
Pour la question 1, c'est assez élémentaire : toute les heure, la moitié de ce qu'il reste de substance A disparait donc:
Au bout de 0h, il y en a "quantité de départ"
Au bout de 1h, il y en reste "quantité de départ"/2
Au bout de 2h, il y en reste ...
Au bout de 3h, il y en reste ...
Au bout de 4h, il y en reste ...

Pour la 2, il faut (évidement) mettre le problème en équation.
Soit donc x(t),y(t) et z(t) les quantités de substance X, Y et A à l'instant t (donc z(0)=a et x(0)=y(0)=0).
L'énoncé te dit qu'il existe des constantes u et v telles que, à tout instant t, on ait x'(t)=u.z(t) et y'(t)=v.z(t) puis il dit que que x(1)=a/8, y(1)=3a/8 et z(1)=a/2.

En considérant qu'il y a conservation de la masse, x(t)+y(t)+z(t) reste constant c'est à dire reste égal à x(0)+y(0)+a(0)=a. Avec tout ça, essaye de trouver une(des) équation différentielle(s) vérifiée(s) par une(les trois) fonctions x,y,z.

[Black Jack]

Aide substencielle.

La quantité de matière A restant à l'instant t est : (a - x(t) - y(t))

Donc on a le système :

dx/dt = k1(a-x-y)
dy/dt = k2(a-x-y)

k1 et k2 étant des constantes réelles à déterminer.

Par simple division, quitte à en faire hurler certains, on trouve :
dx/dy = k1/k2
et donc y = (k2/k1)x + K
mais comme au départ, x = 0 et y = 0 --> K = 0
Soit y = (k2/k1)x

Et on a alors :
dx/dt = k1.(a - x - (k2/k1)x).

Equation différentielle à variable séparables et donc quitte à en refaire hurler certains, on a:

dx/(a - x - (k2/k1)x) = k1.dt

On intègre les 2 membres ...
Essaie et après quelques manipulations tu devrais arriver à :

x(t) = a.k1/(k1+k2) * (1 - e^(-(k1+k2).t))

Et en croisant les rôles de k1 et k2, on déduit immédiatement :

y(t) = a.k2/(k1+k2) * (1 - e^(-(k1+k2).t))

Il reste à determiner k1 et k2 à partir des conditions données par l'énoncé.
x(0) = 0 et y(0) = 0 et x(1) + y(1) = a/2 (En prenons l'heure comme unité de t)

Sauf erreur, on trouve alors :
k1 = (1/4).ln(2) et k2=(3/4).ln(2)

Et donc finalement :

x(t) = (a/4) * (1 - e^(-ln(2).t))
y(t) = (3a/4). * (1 - e^(-ln(2).t))
Avec t en heures

Et avec (x4) + y(4) = (1 - e^(-ln(2)*4)) = 15/16 on vérifie bien que ...

*************

Le tout à compléter, à étayer et à vérifier évidemment.

:zen:

[mehdi-128]

Aide substencielle.

La quantité de matière A restant à l'instant t est : (a - x(t) - y(t))

Donc on a le système :

dx/dt = k1(a-x-y)
dy/dt = k2(a-x-y)

k1 et k2 étant des constantes réelles à déterminer.

Par simple division, quitte à en faire hurler certains, on trouve :
dx/dy = k1/k2
et donc y = (k2/k1)x + K
mais comme au départ, x = 0 et y = 0 --> K = 0
Soit y = (k2/k1)x

Et on a alors :
dx/dt = k1.(a - x - (k2/k1)x).

Equation différentielle à variable séparables et donc quitte à en refaire hurler certains, on a:

dx/(a - x - (k2/k1)x) = k1.dt

On intègre les 2 membres ...
Essaie et après quelques manipulations tu devrais arriver à :

x(t) = a.k1/(k1+k2) * (1 - e^(-(k1+k2).t))

Et en croisant les rôles de k1 et k2, on déduit immédiatement :

y(t) = a.k2/(k1+k2) * (1 - e^(-(k1+k2).t))

Il reste à determiner k1 et k2 à partir des conditions données par l'énoncé.
x(0) = 0 et y(0) = 0 et x(1) + y(1) = a/2 (En prenons l'heure comme unité de t)

Sauf erreur, on trouve alors :
k1 = (1/4).ln(2) et k2=(3/4).ln(2)

Et donc finalement :

x(t) = (a/4) * (1 - e^(-ln(2).t))
y(t) = (3a/4). * (1 - e^(-ln(2).t))
Avec t en heures

Et avec (x4) + y(4) = (1 - e^(-ln(2)*4)) = 15/16 on vérifie bien que ...

*************

Le tout à compléter, à étayer et à vérifier évidemment.

:zen:

Merci beaucoup :we: