Quadrilatère non croisé (didactique)

[mathelot]

bonjour,
comment prouve t on qu'un quadrilatère est non croisé (pour être en phase
avec les définitions qu'un quadrilatère non croisé est un parallèlogramme
sous certaines conditions)


Merci.

[Robot]

Un quadrilatère non croisé est vraiment un parallélogramme ???

[chan79]

Un quadrilatère non croisé est vraiment un parallélogramme ???

On voit au collège: "Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, c'est un parallélogramme."
Théoriquement, il faudrait établir qu'il est non croisé, ce qu'on ne fait pas .... je suppose

[Robot]

Un exemple où le problème se pose serait le bienvenu ...

[zygomatique]

salut

avec un quadrilatère non croisé les diagonales se coupent à l'intérieur contrairement à un quadrilatère croisé ...

ce me semble-t-il ...


dans un quadrilatère croisé deux côtés sont sécants ...

mais bon on prouve pas on dit ...

[chan79]

salut

avec un quadrilatère non croisé les diagonales se coupent à l'intérieur contrairement à un quadrilatère croisé ...

sauf s'il est concave

[zygomatique]

ouais .....

donc en fait croisé ==> concave

donc non concave ==> non croisé

...

[alphamethyste]

comment prouve t on qu'un quadrilatère est non croisé

On se place dans l'espace affine euclidien de dimension finie R^n,n>1

soient sont donnés A,B,C,D les sommets d'un quadrilatere defini par les segments de droite AB,BC,CD,DA ( pas forcément un parallèlogramme)
question: comment prouve t-on que ce quadrilatere n'est pas croisé?

réponse:

si ce quadrilatere est croisé alors il existe que uniquement deux configurations

1)soit les segments de droites AB et CD sont secants en un point E different des points A,B,C,D
2)soit les segments de droites AD et BC sont secants en un point E different des points A,B,C,D

pour ce faire on defini la question generale suivante à laquelle on repond
en remplaçant I=A,J=B,K=C,L=D pour la question 1)
en remplaçant I=A,J=D,K=B,L=C pour la question 2)

dans ce cas si les deux segments de droite IJ et KL sont secants en un point M différent des points I,J,K,L

alors il existe

EQUATION ii->

et verifier qu'ils sont tels que et

où désigne le produit scalaire euclidien

[chan79]

Peut-être avec les angles
La somme des angles d'un quadrilatère non croisé fait 360°

[alphamethyste]

je pense pas (sauf erreur)

si on prend le quadrilatere non croisé forme des segments AB, BC,CD, DA

selon A=(0,0),B=(4,0),C=(3,1),D=(4,4) la somme des angles ABC, BCD, CDA DAB ne fait pas 360°

(je trouve ma demo tres bien et pas trop moche )

[beagle]

je pense pas (sauf erreur)

si on prend le quadrilatere non croisé forme des segments AB, BC,CD, DA

selon A=(0,0),B=(4,0),C=(3,1),D=(4,4) la somme des angles ABC, BCD, CDA DAB ne fait pas 360°

(je trouve ma demo tres bien et pas trop moche )

euh, un quadrilatère non croisé se divise en deux triangles de 180° ...

[alphamethyste]

euh, un quadrilatère non croisé se divise en deux triangles de 180° ...

oui ok tu as raison mais c'est une façon de parler car évidement tu compte l'angle obtus BCD de l'exemple que j'ai donné

mais pour une demo en utilisant le produit scalaire c'est pas l'idéal

(non à part ma demo celle que j'ai fait tout à l'heure vous trouverez rien de mieux ou alors un truc qui proviens de ce que j'ai fais )

[alphamethyste]

j'ai modifié

oui ok tu as raison mais c'est une façon de parler car évidement tu compte l'angle obtus BCD de l'exemple que j'ai donné

mais pour une demo en utilisant le produit scalaire c'est pas l'idéal d'utiliser ça :triste:

(non à part ma demo celle que j'ai fait tout à l'heure vous trouverez rien de mieux ou alors un truc qui proviens de ce que j'ai fais )

[chan79]

Un exemple où le problème se pose serait le bienvenu ...

Exo très simple niveau collège:
ABCD est un rectangle tel que AB=5 cm et BC=2 cm.
E est le point de [AB] tel que AE=1 cm
F est le point de [DC] tel que DF=4 cm
Démontrer que le quadrilatère BFDE est un parallélogramme.
Réponse:
BFDE est non croisé... (admis gentiment)
Il a deux côtés opposés parallèles et de même longueur (4 cm) donc c'est un parallélogramme.

[chombier]

Je n'ai pas tout lu parce que ça me parait bien compliqué vos explications

Un quadrilatère est croisé si et seulement si deux de ses segments opposés sont sécants

Et c'est vrai qu'en 5ème, l'année où l'on voit toutes les propriétés sur le parallélogramme, il suffit de l'affirmer.

"On sait que ABCD est un quadrilatère non croisé, (AB) // (CD) et AB = CD
Or si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même mesure alors c'est un parallélogramme
Donc ABCD est un parallélogramme"

+1 avec Chan79, c'est exactement le type de raisonnement qu'on attend d'un élève de 5ème.

C'est un peu dommage mais on n'a pas trouvé mieux.
On ne demande pas de prouver que [AB] et [CD] ne sont pas sécants ni que [AD] et [BC] ne sont pas sécants.

(j'enseigne en 5ème)

Et comme on ne fait pas de géométrie après le collège, je ne sais pas à quel niveau on se pose vraiment la question. En L2, quand on fait les espaces affines ?

[Robot]

Exo très simple niveau collège:
ABCD est un rectangle tel que AB=5 cm et BC=2 cm.
E est le point de [AB] tel que AE=1 cm
F est le point de [DC] tel que DF=4 cm
Démontrer que le quadrilatère BFDE est un parallélogramme.
Réponse:
BFDE est non croisé... (admis gentiment)
Il a deux côtés opposés parallèles et de même longueur (4 cm) donc c'est un parallélogramme.

Puisque E et F sont de part et d'autre de la droite (BD) (E du même côté que A, F du même côté que C), les côtés BE et DF ne peuvent pas se couper.

[chan79]

Puisque E et F sont de part et d'autre de la droite (BD) (E du même côté que A, F du même côté que C), les côtés BE et DF ne peuvent pas se couper.

oui, avec des angles et des tangentes, on pourrait aussi démontrer que (DE) et (BF) sont parallèles.