Dérivation implicite et produit croisé

[RonnyDD]

Salut à tous!

J'ai un exercice à résoudre ou je dois calculer la dérivée implicite de la relation suivante: x/(y^2)= (3x+2y)/(2x). Je dois effectuer le calcul de deux façons:

1: Calculer la dérivée implicite de la relation telle quelle. Dans ce cas,
je trouve dy/dx = (yx^2 + y^4)/(xy^3 + 2x^3)

2: Effectuer d'abord le produit croisé «y^2*(3x+2y)=2x^2» et ensuite calculer la dérivé. Dans ce cas, je trouve dy/dx = (4x-3y^2)/(6xy + 6y^2)


Autrement dit, je trouve un résultat différent ce que je trouve étrange. Je me suis dit que les deux expressions devaient être équivalentes. Lorsqu'on les compare, on obtient une nouvelle relation entre x et y:
(yx^2 + y^4)/(xy^3 + 2x^3) = (4x-3y^2)/(6xy + 6y^2)

Je m'attendais donc à ce que cette relation soit équivalente à la relation de départ et pour m'en assurer, je les ai mises en graphique. Voici ce que j'ai obtenu:

Relation de départ:


Comparaison des dérivés:



Les deux graphiques sont identiques à la différence que le 2e a deux branches supplémentaires
et je ne comprends pas pourquoi.

Voici mes calculs:

[tournesol]

Tes calculs ne sont pas en cause.Ce que tu touves est normal.
Au départ on a une courbe C d'équation f(x,y)=0
On transforme ensuite son équation en une équation équivalente sur l'ensemble de définition de f .
A savoir g(x,y)=0 .
La première formule de dérivation implicite u(x,y) s'applique en fait à toute courbe d'équation f(x,y)=k ( réel fixé)
La deuxième v(x,y) s'applique à toute courbe d'équation g(x,y)=k'(réel quelconque)
Les deux familles de courbes étant differentes(bien qu'elles aient une courbe commune), les dérivées implicites seront differentes mais si f(x,y)=0 , alors u(x,y)=v(x,y) (coincidence des évaluations en les coordonnees des points de C ).

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

On peut regarder plus précisément ce qui se passe.
Tu as une équation implicite de la forme . Quand tu calcules à partir de ça la dérivée de par rapport à , tu trouves (pour alléger les notations je note la dérivée partielle par rapport à avec un en indice, idem pour ).
Maintenant, si tu pars de pour calculer la dérivée, tu trouves simplement .
Les deux coïncident bien sûr quand et en fait leur différence est . Dans ton histoire et , et donc on trouve pour le facteur "parasite"

Le dénominateur de ce facteur parasite n'a-t-il pas un rapport avec "les deux branches" que tu as vu apparaître ?

[mathelot]

bonjour,
montrons que les deux dérivées sont égales:

et pour l'autre dérivée:

de l'égalité:

on obtient par produit en croix:
(*)
on sait que:

(*) donne:

par substitution:



par substitution:



Les deux dérivées sont donc égales sur la variété d'équation

[GaBuZoMeu]

mathelot, tu aurais pu t'apercevoir en lisant mon message que le terme de gauche de ton équation (*) se factorise en . Le problème de RonnyDD, c'était de comprendre d'où sortent les deux branches "parasites" de son graphique. J'ai donné la réponse : du facteur .

[mathelot]

Autrement dit, je trouve un résultat différent [pour les deux dérivées]ce que je trouve étrange.

@GBZM: j'ai répondu à cette question.

[RonnyDD]

Merci à tous pour vos réponses.

Je précise que je ne suis pas familier avec le système scolaire français et en voyant vos réponses
ainsi qu'en parcourant les topics, je crois bien que j'aurais dû publier ma question dans la section Lycée.

Tes calculs ne sont pas en cause.Ce que tu touves est normal.
Au départ on a une courbe C d'équation f(x,y)=0
On transforme ensuite son équation en une équation équivalente sur l'ensemble de définition de f .
A savoir g(x,y)=0 .
La première formule de dérivation implicite u(x,y) s'applique en fait à toute courbe d'équation f(x,y)=k ( réel fixé)
La deuxième v(x,y) s'applique à toute courbe d'équation g(x,y)=k'(réel quelconque)
Les deux familles de courbes étant differentes(bien qu'elles aient une courbe commune), les dérivées implicites seront differentes mais si f(x,y)=0 , alors u(x,y)=v(x,y) (coincidence des évaluations en les coordonnees des points de C ).

Je n'ai pas trop compris cette histoire de réel fixé et réel quelconque. Du moment qu'on dérive une constante, ça devrait donner le même résultat, donc les formules de dérivations u(x,y) et v(x,y) devraient être les mêmes , peu importe les constantes k/k' fixées ou quelconques?

Bonjour,

On peut regarder plus précisément ce qui se passe.
Tu as une équation implicite de la forme . Quand tu calcules à partir de ça la dérivée de par rapport à , tu trouves (pour alléger les notations je note la dérivée partielle par rapport à avec un en indice, idem pour ).
Maintenant, si tu pars de pour calculer la dérivée, tu trouves simplement .
Les deux coïncident bien sûr quand et en fait leur différence est . Dans ton histoire et , et donc on trouve pour le facteur "parasite"

Le dénominateur de ce facteur parasite n'a-t-il pas un rapport avec "les deux branches" que tu as vu apparaître ?

Là, je me sens un peu paumé! Déjà, il me semble que mon équation implicite n'a pas la forme , mais plutôt la forme

Mais même en partant de la forme , je ne comprends pas comment tu trouves . Comme on applique la dérivé sur un quotient, il me semble qu'il devrait y avoir un au dénominateur? Et comme on cherche la dérivé totale par rapport à x, il me semble que les termes devraient tous être multiplié par ?

bonjour,
montrons que les deux dérivées sont égales:
........
Les deux dérivées sont donc égales sur la variété d'équation

En effet! Je me disais bien que les deux réponses n'étaient pas incompatibles, mais je continue à trouver ça mystérieux qu'en posant l'égalité entre les deux, on obtient une nouvelle relation disons plus permissive (plus de couple [x,y] autorisés) que la première. Mystérieux, mais pas absurde, cependant!

[GaBuZoMeu]

Tout d'abord : ton sujet ne relève sûrement pas de la section "Lycée" ! Il est hors de question de parler du théorème des fonctions implicites au lycée, cela relève de la 2e ou 3e année d'enseignement supérieur. Bon, il est vrai qu'ici on n'aborde pas du tout les aspects théoriques du théorème des fonctions implicites, on calcule juste sans se poser trop de questions.

Ensuite : ton équation implicite est la même que .
D'accord ?

Enfin, si tu calcules la dérivée totale de (en notant la dérivée de par rapport à ), tu trouves :

D'accord ?
Et maintenant si tu annules cette expression pour trouver , tu trouves bien

D'accord ?

J'en reviens au point principal : tu t'étonnais des deux branches supplémentaires apparues sur ton graphique. Ces deux branches ne sont-elles pas la courbe d'équation que j'ai mise en évidence dans mon calcul ? Aucun mystère, tout s'explique.