Puissances nièmes

[micercle]

Bonjour,

A-t'on le droit de "simplifier" \sqrt{u^2} = (u^2)^(1/2) = u ?
C'est pourtant ce que font gaillardement les étudiants (et pas qu'eux) !

si j'ai (u^n)^(1/n) il semble que u doit être positif. Si je prends le cas de n =3, la fonction cube est une bijection sur R, donc si u = -27, je peux extraire la racine cubique par la fonction réciproque, à savoir -3.

En python (-27)**(1./3) donne lieu à un beau message d'erreur. Sur une HP42S, le résultat est complexe et sous Excel la formule ne le gêne pas. Excel accepte ce genre de formule sans sourciller.

plus généralement peut-on écrire (a^n)^p = (a^p)^n = a^(np) dans tous les cas ?

Merci de vos lumières

Micercle

[Lostounet]

Salut,
Non on n'a pas toujours le droit de le faire.

Surtout quand il s'agit de nombres négatifs et des exposants comme 1/2
Exemple (-1)^2 existe mais [(-1)^(1/2)]^4 n'est pas défini.

Mais aussi on ne peut pas définir systématiquement une unique puissance 1/3. Par exemple que vaut (-8)^(1/3) ? il y a trois nombres complexes dont un réel tels que leur cube vaut -8. Si on veut on peut choisir de prendre le réel (-2) pour des raisons pratiques ou par définition. Mais des fois on a besoin des trois racines 3ièmes de -8.

C'est pareil avec la racine carrée: si on cherche z tel que z^2=a on peut toujours trouver deux complexes qui marchent. Des fois, ces deux complexes sont en fait deux réels (quand a est positif) donc on choisit celui parmi lesquels est positif. Ce n'est qu'un choix/une définition. Mais on pourrait des fois avoir besoin des deux ..

Pour te renseigner plus cherche 'racine n-ième de l'unité'.

Donc je ne donnerais pas tort à l'un ou à l'autre des logiciels: il se peut qu'ils te donnent une des racines troisièmes de leurs choix.

[micercle]

Je conviens des racines nièmes dans C, mais -8 est aussi le cube de -2 dans R

La raison pour laquelle x^(1/n) nécessite que x soit>0 est que x^a est défini par exp(a ln(x)) d'ou le x > 0

J'ai bien appris tout ça mais le coup de la réciproque de x^3 me chagrine

Micercle

[Lostounet]

En fait le choix de ces logiciels peut-être lié au choix de la branche principale de la fonction multiforme z>z^(1/3).


On peut choisir de définir la fonction racine cubique sur R- en associant à chaque réel négatif l'unique nombre réel négatif qui au cube donne le nombre initial.
Mais rien n'empêche de choisir autre chose qu'un réel pour quelques raisons(pourquoi?).

[Ben314]

Salut,
Personnellement, pour "lever l'ambiguïté", :
- Ce que je note c'est donc défini uniquement pour x>0 (et éventuellement x=0 en prolongeant par continuité) avec comme unique exception (bien sûr...) les puissances entières où x peut être négatif.
- Par contre, la bijection réciproque de la fonction de R->R ; x->x^3 (sur R tout entier, mais évidement pas sur C), je la note .

Par exemple, n'existe pas, mais existe et vaut -2.

Par contre, je sais pas si c'est archi conventionnel comme... convention...

[micercle]

Mais au moins c'est plus clair !

Moralité, faut se méfier des outils de calculs !!! Mais les jeunes bacheliers n'y ont pas été sensibilisés, me semble-t-il !!

Merci d'avoir rallumé la lumière de ma lanterne.

Micercle