Puissance d'une matrice

par **MacManus** » 13 Juin 2008, 16:05

Bonjour à tous !

J'ai oublié la méthode pour faire ce genre de calcul.

Soit la matrice de

suivante :

J'aimerais calculer

Je pense qu'il faut utiliser (donc à priori calculer) le polynôme caractéristique de cette matrice. On remarque 2 blocs (4x4 et 2x2) dans cette matrice A.
Je dois alors calculer 2 polynômes caractéristiques n'est - ce pas ?

...et que faire ensuite ?

Merci pour vos précisions!

par **fatal_error** » 13 Juin 2008, 16:57

Hello,

en tatonnant, je trouve

par **MacManus** » 13 Juin 2008, 17:21

Oui je confirme ton calcul (avec Scilab)
Je trouve d'ailleurs que

(matrice identité)

mais le problème demeurre...(sans scilab)

Merci fatal_error :lol3:

par **Clembou** » 13 Juin 2008, 17:24

MacManus a écrit:Oui je confirme ton calcul (avec Scilab)
Je trouve d'ailleurs que (matrice identité)

mais le problème demeurre...(sans scilab)

Merci fatal_error :lol3:

Il faut voir si la matrice est diagnolisable. Alors si c'est le cas :

où

est une matrice diagonale.

par **MacManus** » 13 Juin 2008, 17:29

Je viens de voir que si

alors un polynôme annulateur de A est :

On en déduit que, puisque A n'est pas la matrice nulle :

est aussi un polynôme annulateur de A.
matriciellement :

or : 10001010 est un multiple de 6
d'où

par **MacManus** » 13 Juin 2008, 17:32

Oui Clembou tu as entièrement raison !
Je vais donc calculer le polynôme caractéristique

Je pense qu'il y a une astuce pour calculer le polynôme caractéristique du bloc 4x4 de A... je ne sais plus très bien

par **leon1789** » 13 Juin 2008, 17:51

Calculer le polynôme caractéristique, diagonaliser (trigonaliser ?), quelle drole d'idée ! C'est une matrice de permutation !
Regarder comment elle opère sur les éléments de la base canonique : elle fait une permutation des vecteurs, à savoir (135246) . Ensuite, le problème revient à calculer une puissance de cette permutation (qui est d'ordre 7... ce qui retombe sur ce qui a été annoncé au-dessus) : à la main, sans aucun problème une fois 10001010 mod 7 calculé via

(car 1001=7*11*13, classique pour ceux qui font des preuves par 1001 si je peux dire)...

par **Clembou** » 13 Juin 2008, 17:54

MacManus a écrit:Oui Clembou tu as entièrement raison !
Je vais donc calculer le polynôme caractéristique

Je pense qu'il y a une astuce pour calculer le polynôme caractéristique du bloc 4x4 de A... je ne sais plus très bien

En fait, tu as :

par **MacManus** » 13 Juin 2008, 17:59

Oui je suis d'accord avec vous deux!
Effectivement leon1789, j'ai complètement oublié qu'il s'agissait d'une matrice de permutation....merci de me rafraîchir la mémoire

par **leon1789** » 13 Juin 2008, 18:05

ok, mais je ne trouve pas identité... :hein: mais une matrice formée par les blocs (0,1 // 1,0) :hein:

par **Clembou** » 13 Juin 2008, 18:10

leon1789 a écrit:ok, mais je ne trouve pas identité... :hein: mais une matrice formée par les blocs (0,1 // 1,0) :hein:

Là leon, je ne suis pas d'accord car

. Si tu me dis que c'est une matrice de permuation, on peut voir cette permutation comme :

Quel est l'ordre de cette permutation ?

par **leon1789** » 13 Juin 2008, 18:13

ok, j'ai compris.... Faut pas confondre 7 et 6 ! La permutation est (135246) est d'ordre 6 (et pas 7 !!! grrrrrr). Je reprends :

et

(somme des chiffres) donc

, donc

:id: :marteau:

par **leon1789** » 13 Juin 2008, 18:14

Clembou a écrit:Quel est l'ordre de cette permutation ?

Aie aie, pas sur la tête, aie ! baf, 6 ou 7, c'est pareil non ? :ptdr:

par **Clembou** » 13 Juin 2008, 18:15

leon1789 a écrit:ok, j'ai compris.... Faut pas confondre 7 et 6 ! La permutation est (135246) est d'ordre 6 (et pas 7 !!! grrrrrr). Je reprends :
et (somme des chiffres) donc , donc :id: :marteau:

Je confirme mais il fallait peut-être laisser chercher MacManus

par **Clembou** » 13 Juin 2008, 18:15

leon1789 a écrit:Aie aie, pas sur la tête, aie ! baf, 6 ou 7, c'est pareil non ? :ptdr:

donc

. De toute façon, il faut utiliser le théorème de Lagrange qui dit que l'ordre d'un élément est un multiple de l'ordre du groupe auquel il appartient donc soit 1, 2, 3 ou 6 (et pas 7 :triste: )

par **MacManus** » 13 Juin 2008, 18:48

Oui je suis d'accord avec tout ce que vous dites. (permutation - ordre - Lagrange...) c'est Ok !

Merci à vous

par **leon1789** » 13 Juin 2008, 19:01

Clembou a écrit: De toute façon, il faut utiliser le théorème de Lagrange qui dit que l'ordre d'un élément est un multiple de l'ordre du groupe auquel il appartient donc soit 1, 2, 3 ou 6 (et pas 7 :triste: )

L'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe...
Mais là, nul besoin de théorème de Lagrange :

(l'ordre d'un 6-cycle est 6 évidemment) implique

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