Ptit exo marrant d alg lin

[ffpower]

Soient u et v 2 endo d un ev quelquonque E. Montrer que Id+uv inversible implique Id+vu inversible

[thedream01]

On pose f = Id + uv et g = Id + vu.
MQ g est bijective.
Cela revient à mq g est injective, ie: ker(g) = {0}.
Soit a un élément du noyau de g, alors g(a) = a + v[u(a)] = 0...(*)
On compose par u à gauche: u.g(a) = u(a) + uv[u(a)] = f[u(a)] = 0.
Comme g est bijective alors u(a) = 0.
(*) => a=0.
D'où ker(g) = {0}.
D'où la bijectivité!

[ffpower]

oki pour l injectivité ,mais je suppose pas E de dim finie...

[alavacommejetepousse]

On pose f = Id + uv et g = Id + vu.
MQ g est bijective.
Cela revient à mq g est injective, ie: ker(g) = {0}.
Soit a un élément du noyau de g, alors g(a) = a + v[u(a)] = 0...(*)
On compose par u à gauche: u.g(a) = u(a) + uv[u(a)] = f[u(a)] = 0.
Comme g est bijective alors u(a) = 0.
(*) => a=0.
D'où ker(g) = {0}.
D'où la bijectivité!

ceci n'est valable qu 'en dim finie

en dim infinie reste la surjectivité

soit y dans E

il existe z tel que f(z) = u(y) soit
uv(z) +z = u(y) donc z = u [ y - v(z) ]
on pose x = y - v(z) et on obtient
g(x) = y
ce qui prouve la surjctivité de g

[ffpower]

la c est oki,bien joué^^