Proposition très simple

[Trident]

Bonsoir, je me propose de démontrer la proposition suivante :

[B]Si a est un reel tel que, pour tout M > 0, on ait |a| 0.
On choisit M = 0.5|a| > 0. On a alors |a| 0, on ne change pas le sens de l'inégalité. On a alors 1 0

[I]Rappel de l'axiome d'Archimède :

Pour tout réels x et y avec x > 0 et y >= 0, il existe n appartenant à N* tel que y 0 et M > 0 (donc M >= 0) , et que |a| et M sont deux réels, on peut appliquer l'axiome d'Archimède à ces deux réels.

Il existe donc n appartenant à N* tel que M = M/n

M appartient à R et n appartient à N donc M/n appartient à R. M/n est de plus un réel strictement positif comme quotient de deux réels qui le sont.

Ainsi, en considérant que a est différent de 0, on a montré qu'il existait un réel strictement positif qui était inférieur ou égal à la valeur absolue de |a|, ce qui contredit l'hypothèse de départ "a est un reel tel que, pour tout M > 0, on ait |a| < M" donc forcément a=0.


Est-ce correct ?

[Le_chat]

Dans ta démo, tu ne dis pas qui est M. Tu peux pour fixer les idées prendre M=1. Dans ce cas t'as bien |a|;)1/n, et effectivement c'est absurde mais bon ça reste long comme preuve.

[Trident]

Dans ta démo, tu ne dis pas qui est M. Tu peux pour fixer les idées prendre M=1. Dans ce cas t'as bien |a|;)1/n, et effectivement c'est absurde mais bon ça reste long comme preuve.

Oui M est un réel strictement positif.

Ça reste long mais le but pour moi était d'utiliser l'axiome d'Archimède qu'on venait d'étudier et je voulais savoir si c'était correct.

Merci d'avoir répondu.

[Doraki]

Ta 1ère preuve est aussi inutilement longue :

Soit a un réel tel que pour tout M>0, |a| < M.
si a est non nul, alors |a|>0, donc |a|<|a|, contradiction.

[Trident]

Ta 1ère preuve est aussi inutilement longue :

Soit a un réel tel que pour tout M>0, |a| 0, donc |a|<|a|, contradiction.

Ouais, elle est pas mal celle là aussi.

Mais bon, tu exagères un peu dans le "inutilement", j'ai simplement tout détaillé comme j'ai toujours l'habitude de le faire pour bien me faire comprendre.