21did21 a écrit:merci beaucoup pour ta réponse !!
=> connais tu la methode numerique (générale) pour déterminer les racines des polynomes de Legendre en fonction du nombre de points d'intégration choisi ?
=> connais tu aussi une methode numérique pour trouver les points associés ? (j'ai cru comprendre qu'il fallait résoudre un systeme avec pour second membre [2 0 0 0 ...] et en matrice une matrice qui comporte les racines mais par contre je n'ai pas compris (surtout le 2) car il n'y avait pas de details.
si oui, peux tu me les expliquer ?
Je ne comprends pas bien ce qui te préoccupe et le je ne sais pas comment on ta présenté tout ça. Aussi je résume un petit peu et je fais qq remarques en espérant que cela te rendra service.
I(f) intégrale de la fonction f sur (a,b)
x0, x1 ,
., xn : (n+1) points de (a,b)
Pf le polynôme de degré inférieur ou égal à n qui interpole f aux points xi
On approche I(f) par I(Pf)
I(Pf) = f(x0)A0 + f(x1)A1 +
..+ f(xn)An
Où Ai = I(Li) , L0,L1,
.,Ln étant les (n+1) polynômes de Lagrange associés aux points xi. Les Ai ne dépendent pas de f mais seulement des xi.
On a: (A) I(f) = f(x0)A0 + f(x1)A1 +
..+ f(xn)An +E , E étant lerreur commise lorsquon approxime
I(f) par I(Pf). La formule est exacte (E=0) pour f polynôme de degré <= n , cela quel que soit le choix des xi.
Cas particulier a= -1 , b = 1
On améliore la méthode précédente en utilisant les polynômes de Legendre associés à (-1,1) quon connait bien et qui permettent un choix judicieux des xi
On montre que si on choisit comme xi les (n+1) racines du polynôme de Legendre de degré (n+1) relatif à (-1,1), la formule (A) ci-dessus est exacte pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à 2n+1 (on comprend bien que plus large est la classe des polynômes sur laquelle la formule est exacte, meilleure est la méthode dapproximation)
Si on veut appliquer cette dernière méthode sur un intervalle quelconque (a,b) on se ramène sur lintervalle (-1,1) par une application affine transformant -1 et 1 en a et b. (ou alors en ramenant les points de Legendre de (-1,1) sur (a,b) en utilisant lapplication affine précédente). Cela a peut être un rapport avec ta deuxième question.
Remarque1: dans les méthodes précédentes, on nutilisera pas beaucoup de points xi car le calcul des Ai et des points de Legendre serait trop pénible. On préfère les méthodes composites: On partage lintervalle dintégration en plusieurs petits intervalles et on applique la méthode sur chacun de ces petits intervalles.
Remarque2: pour calculer les racines dun polynômes il existe des méthodes générales. Je ne connais pas de méthode spécifique aux polynômes de Legendre.
