Projeté orthogonal

[mehdi-128]

Salut,

Soit E un espace préhilbertien réel muni du produit scalaire.
Soit (e1 , ... , em) une base orthonormale du sous espace vectoriel F de E.

D'où vient la formule suivante :



Merci

[Kolis]

Bonjour !
Dans une base orthonormée la composante d'un vecteur sur un vecteur de base s'obtient en faisant le produit scalaire de ces vecteurs.

[Ben314]

Salut,
Par définition même, le projeté orthogonal y de x sur F est tel que :
(i) y est dans F
(ii) (x-y) est dans l'orthogonal de F
Vu le contexte, le (i) dit que y est combinaison linéaire des ek et le (ii) dit que x-y est orthogonal à tout les ek et ça te donne immédiatement la formule dont tu parle.

[mehdi-128]

Donc soit alors :

Où et

Alors :

Or :

Et là je bloque

[Kolis]

Tu bloques ? Mais que veux-tu démontrer exactement ?
Au départ tu cherchais l'origine d'une expression.
Il me semble t'avoir dit que si est une base orthonormée de , pour TOUT vecteur (ce qui est bien le cas pour ce que tu appelles le "projeté"), tu as .

Si tu veux le prouver, c'est facile :
Soit .
Par linéarité du produit scalaire tu as

puisque la base est orthonormée.

[mehdi-128]

D'accord j'ai compris merci