Produit de convolution

[marie49]

Bonjour tout le monde!

Je sèche sur un exercice. On se donne E et F deux ensembles mesurables bornés de , de mesures m(E) et m(F) strictement positives.
Comment peut on montrer que le produit de convolution est une fonction continue non identiquement nulle sur ?
Je ne vois pas trop comment faire!
Merci

[tize]

Bonjour,
tu peux calculer et montrer que cela tend vers 0 quand .
Plus généralement, si et avec alors est uniformément continue et bornée par

[marie49]

J'ai fait un autre truc je sais pas trop si c'est bon ou pas: j'ai calculé , qui est égal après calcul à 0<m(E)m(F)< donc l'intégrale est non nulle donc la fonction n'est pas identiquement nulle.
Et après pour la continuité et pour utiliser le resultat que t'a dit. Ca marche ou pas?

[tize]

Oui...enfin... pour tout p puisque E est borné...
Sinon pour utiliser le résultat que je t'ai donné il faut d'abord l'avoir démontré dans le cours, ou alors il y a du travail...

[marie49]

oui on l'a déjà démontré en cours en fait! heureusement parce que la démonstration est dure à trouver tout seul! Puisque et sont toutes deux dans L² j'ai meme un théorème qui dit que est une fonction continue sur nulle à l'infini!
C'est surtout pour montrer que la fonction était pas identiquement nulle que j'avais un doute! Je savais pas si calculer l'intégrale comme j'ai fait était la meilleure solution... Mais bon ca a l'air de marcher!
En tout cas, merci beaucoup pour ta reponse, j'avais pas du tout pensé au théorème pour la continuité!

[marie49]

A partir de la, je dois en déduire que l'nesemble mesurable E+F est d'intérieur non vide dans . J'ai écrit que . Or, (adhérence de E) et .
Donc .
Maintenant je sais pas comment on voit que l'intérieur de E+F est non vide...

[tize]

est une fonction continue donc est ouvert...

[marie49]

oui, donc est ouvert (donc égal à son intérieur), mais ce qui me perturbe c'est que c'est inclu dans donc ca me dit juste que l'intérieur de est non vide. Je préfèrerais que ca soit inclus dans ca me permettrait de conclure.

[marie49]

ha, si je crois que j'ai trouvé car on a donc finalement en passant à l'intérieur j'ai et on reprend encore l'intérieur.

[tize]

Attention !
est toujours fermé car

est un ouvert inclus dans , de plus cet ouvert est non vide car...

[marie49]

heu, c'est non vide parce que la fonction est nulle à l'infini
C'est ca?

[marie49]

je dis n'importequoi non c'est parce que la fonction n'est pas identiquement nulle! lol

[marie49]

Maintenant on suppose que E et F ne sont pas bornés. On veut montrer que si E et F sont deux ensembles mesurables de de mesures strictement positives, l'ensemble E + F est d'intérieur non vide.

J'ai dit qu'on pouvait toujours trouver un ensemble B borné dans tel que et soient de mesure strictement positive. Dans ce cas, on se ramène au cas précédent puisque et sont bornés et de mesures strictement positive, est d'intérieur non vide dans , or donc E+F est d'intérieur non vide dans

Je suis pas très sûre de la phrase soulignée... Qu'est ce que vous en pensez?

[tize]

Oui, on sait que avec et pour toute mesure , et donc si alors il existe un entier à partir duquel