Produit de convolution

[zork]

Bonjour

Sauriez vous où je pourrais trouver le résultat du produit de convolution d'une fonction de L² par une fonction de ?


merci

[mathelot]

peut être dans le cadre des distributions de L.Schwartz

[zork]

la démo est dure? quelles est l'idée générale?

[paquito]

Le produit de convolution se présente généralement sous la forme:

; si l' on pose on obtient:

t, donc, s'il est défini, le produit de convolution est commutatif.

Si on utilise la transformation de Laplace, notée , on a

Dans un autre domaine, si et sont deux v.a. indépendantes de densités f et, a pour densité et , ce qui fait apparaître le produit de convolution.

En résumé, je n'ai pas détaillé car le théorème de Fubini est omniprésent avec toutes ses exceptions.

Je t'ai donné les principaux résultats; il manque, bien sûr la distributivité car ça s'appelle un produit.

Une application: soit n v.a. indépendante suivant une même loi ; la loi de est de transformée de Laplace

donc si, X va vite évoluer vers une loi normale et sa transformée de Laplace sera et si on retourne à l'original, on obtient:

.

Pour est (presque) confondue avec la densité de Gauss.