Produit de convolution de deux lois de probabilités

[cheaitou]

Bonjour, Je cherche à trouver une formule simple du produit de convolution de deux lois de probabilités (fonctions densité de probabilité) d'une façon générale, et si c'est pas possible je cherche le produit de convolution de deux fonctions densité de probabilité données (deux lois normales par exemple) en fonction de leurs paramètres (moyenne, écart-type).

Merci

[El_Gato]

Si les deux lois de proba ont une densité, la densité de la loi convoluée c'est le produit de convolution des densités. Il n'y a pas d'autre formule générale.

En ce qui concerne les lois normales, le plus simple est de passer par les fonctions caractéristiques. Tu trouves alors que la convoluée est une loi normale d'espérance la somme des espérances et d'écart-type la racine carrée de la somme des carrés des deux écart-types.

Si tu ne passes pas par les fonctions caractéristiques, tu dois alors te taper le calcul de l'intégrale de convolution à la main et c'est ... ennuyeux. De plus, dans le cas des lois normales, ce calcul contient quelques astuces qui ne sont pas faciles à voir au début.

[cheaitou]

Merci El Gato,

en fait l'intégrale que j'ai (produit de convolution) n'a pas des bornes infinis (donc c'est une intégrale sur un intervalle fini) alors que la définition d'un produit de convolution est une intégrale entre (-l'infini) et (+l'infini). Alors je ne sais pas si je peux utiliser les résultats du produit de convolution qui sont obtenu sur l'intervalle infini pour deux normales par exemple, pour mon problème qui a deux bornes d'intégrale finies.

Merci

[El_Gato]

Comment cela se fait que tu as des bornes finies ? et pourquoi ne pas intégrer sur toute la droite en incluant la fonction indicatrice de ton intervalle ?

[cheaitou]

en fait l'intégrale suivante :

intégrale_A1^A2{f1(x)F2(B-x)}dx , où f1(x) est la fonction densité de probabilité de la première distribution, et F2(x) est la fonction de répartition de la deuxième distribution. A1 et A2 étant les bornes inférieures et supérieures de mon intégrale et B est une constante.

Merci beaucoup

[El_Gato]

Salut
Par définition,


.
Or est dérivable et:
où est cette fois une densité de proba et non plus une fonction de répartition.

Je ne sais pas si ça peut aider...

[cheaitou]

Salut El Gato et merci pour ta réponse !!

J'ai deux questions en fait:

1- c'est quoi ;) ??

2 - comment est ce qu'on pourrais trouver à partir de la dernière formule que t'as écris (Int_a1^a2(f1(x)f2(B-x)dx) une forme simple (car on connait bien par exemple que si f1 et f2 sont deux normales alors Int_-;)^+;)(f1(x)f2(B-x)dx est une normale).

Merci beaucoup

[El_Gato]

1- c'est quoi ? ??
2 - comment est ce qu'on pourrais trouver à partir de la dernière formule que t'as écris (Int_a1^a2(f1(x)f2(B-x)dx) une forme simple (car on connait bien par exemple que si f1 et f2 sont deux normales alors Int_-?^+?(f1(x)f2(B-x)dx est une normale).

Ce que j'ai appelé c'est le produit . Mais le plus important n'est pas là. On peut répondre facilement à ta question:
se calcule simplement: c'est où est la fonction de répartition de la convoluée . Or cette convoluée est une loi normale comme on a vu. La fonction n'a pas d'expression simple à l'aide de fonction élémentaires mais elle est tabulée.

N'ayant pas le texte complet de la question, et en particulier ne sachant pas pourquoi ces bornes sont apparues, je ne peux t'en dire plus, mais cela devrait résoudre ton problème.

[cheaitou]

Salut,

Donc tu confirmes que la convolution de deux normales en utilisant une intégrale sans bornes est une normale aussi ??

Intégrale(f1(x)f2(B-x)dx) = normale si f1 et f2 sont des normales?? en sachant que cette intégrale dépendent de x et de B en même temps!!!!

Merci

[El_Gato]

Salut,

Donc tu confirmes que la convolution de deux normales en utilisant une intégrale sans bornes est une normale aussi ??

Intégrale(f1(x)f2(B-x)dx) = normale si f1 et f2 sont des normales?? en sachant que cette intégrale dépendent de x et de B en même temps!!!!

Merci

Oui, c'est ce que je t'ai dit au début: ca se voit en une ligne avec les fonctions caractéristiques. Dit autrement: la somme de deux v.a. indépendantes et normales est une normale avec les coefficients ceux que j'ai dit dans mon premier post.

[cheaitou]

Merci Beaucoup,

C'est bon

Merci