Problèmes simples de fonction

[Florix]

Bonjour,

J'ai des questions simples à poser (car elle sont simples mais pas pour moi !) !

1) Soit m un réel non nul. Soit la fonction fm (x) = e^x / (1 + m e^x)
Déterminer le domaine de définition de la fonction fm

e^x est toujours différent de 0 ainsi que m d'après l'énoncé, 1 différent de 0 donc le domaine de définition serait R. Unique problème, c'est que cela me paraît trop simple non ??? En plus j'ai perdu ma calculette graphique :marteau: alors impossible de tracer la fonction !

2) Soit la fonction f définie sur ]1;2[ par

f(x) = ( 1 / (x-1) ) + ( 1 / (x-2) )

Montrer en déterminant f^-1 que f réalise une bijection de ]1;2[ sur un intervalle que l'on précisera

Déjà, si qqn peut m'expliquer ce qu'est exactement f^-1 (j'ai pas bien compris dans le cours) ce serait sympahtique de sa part.

Ensuite si qqn a une idée de la réponse et comment y parvenir je veux bien, histoire que je puisse comprendre la démarche

Merci d'avance pour vos réponses

Florix

[Chimerade]

1 différent de 0 donc le domaine de définition serait R. Unique problème, c'est que cela me paraît trop simple non ???

D'abord, il ne faut pas s'étonner que le domaine de définition soit R ! Pourquoi pas, il y a des tas de fonctions définies sur R ! Et ce n'est pas parce que l'on te demande de préciser le domaine de définition qu'il est forcément différent de R : c'est un réflexe à avoir : dans tous les cas, même si on ne le demande pas, il faut vérifier l'étendue du domaine de définition.

En deuxième lieu, le fait que 1 soit différent de zéro m'indiffère totalement. Ce n'est pas ça qui rendrait la fonction non définie ! Ce qu'il faut éviter c'est que le dénominateur d'une fraction soit différent de zéro donc chercher si l'équation :

(1 + m e^x) = 0 a ou non des solutions !
Alors cherche !

f(x) = ( 1 / (x-1) ) + ( 1 / (x-2) )
Déjà, si qqn peut m'expliquer ce qu'est exactement f^-1 (j'ai pas bien compris dans le cours) ce serait sympahtique de sa part.

désigne la fonction réciproque de f (lorsqu'elle existe, et c'est justement la question ici). Chercher c'est :

si y = f(x), trouver l'expression de x fonction de y ! Si tu y parviens, cela veut dire qu'une certaine valeur de y ne peut être atteinte que comme l'image d'une seule valeur de x par f : la fonction f est une injection. Si par contre tu peux montrer que certaines valeurs de y sont l'image d'au moins deux valeurs différentes de x, alors tu ne peux pas définir la "réciproque" et la fonction n'est pas une injection.

Pour que f soit une bijection, il faut qu'elle soit une injection et une surjection. Si tu arrives à montrer que f est injective, restera donc à voir comment définir l'ensemble d'arrivée pour que f soit une surjection.

[Florix]

Bonjour,

Tout d’abord merci pour toutes ces explications ça m’aide ! Comme vous dîtes, dire que 1 est différent de 0 est complétement stupide je ne sais pas pourquoi j’ai marqué ça sur mon brouillon.

Ceci étant, j’ai résolu l’équation 1 + m ex = 0 à e^x = 1/m à x = ln (1/m) à x = ln 1 – ln m

Donc le domaine de définition de f est R - [ ln 1 - ln m ] ?????

[Chimerade]

Plusieurs erreurs : en commençant par la dernière, ln(1/m) est bien égal à ln(1)-ln(m), mais il faudrait savoir que ln(1)=0 donc ln(1/m)=-ln(m). Bon ! Mais de toutes façons, on n'arrive pas à cette équation...En effet l'équation (1 + m e^x) = 0 se résouds comme suit :

Si m>0 alors (1 + m e^x) est toujours >1 et l'équation n'a pas de solutions !
Si m<0 alors :