Problème simple d'optimisation

[kanonia]

Bonjour à tous, je bloque sur ce problème d'apparence assez simple mais il se trouve qu'il me manque un cours sur ce chapitre et qu'après pas mal de rechercher sur le sujet il reste quelque chose qui m'échappe.

"Une entreprise utilise les facteurs de production capital (K), travail (L) et terrain (T) pour produire Q unités d'un output où Q = K^(2/3)+ L^(1/2) + T^(1/3).
Le prix de l'output est p, celui du capital est r, celui du travail w et celui du terrain q

On me demande ici de trouver la combinaison d'input maximisant le profit et de vérifier la condition du second ordre, puis, "Si Q* est la valeur optimale d'output produit par l'entreprise et K* la quantité optimale de capital, montrer que dQ*/dr = -dL*/dp".


Je suppose qu'il faut d'abord trouver la productivité marginale de chaque facteur mais ensuite je bloque car je ne trouve pas d'égalité donnant des résultats convenables.

Merci par avance à ceux qui réussiront à m'aiguiller ne serais-ce qu'un peu!

[Ben314]

Bon, j'y connait que dalle au domaine donc je sais pas trop ce que désigne tout le vocabulaire de ton post, mais j'ai l'impression que le but est de maximiser Q = K^(2/3)+ L^(1/2) + T^(1/3) sous une contrainte de la forme rK+wL+qT=Cst.

Si c'est bien ça, il suffit de regarder pour quelles valeurs les différentielles de tes deux fonction sont colinéaires :
[ 2/3.K^(-1/3) ; 1/2.L^(-1/2) ; 1/3.T^(-2/3) ] = c . [ r ; w ; q ] où c est une constante

C'est à dire K=(3/2.c.r)^(-3) ; L=(2.c.w)^(-2) ; T=(3.c.q)^(-3/2)