Un problème qui m'intéresse.

[Euler911]

Bonsoir,

Soit une fonction telle que:

Calculer .

Je ne sais pas le résoudre. Cependant, j'ai trouvé, peut-être, des éléments de réponse:

1) f est en fait une fonction de [0,1] dans [0,1];
2)

Je ne sais pas quels sont les prérequis pour résoudre cet exo (je ne suis qu'en 6e, belgium). A dire vrai, cet exercice est un exercice d'un autre forumeur, mais celui-ci a des ennuis avec la police (;) ) et en particulier avec Timothé L.

Voilà, si une âme charitable pouvait m'éclairer quant à la résolution de cet exercice, ce serait bien sympathique,

Quentin

P.S.- intuitivement, je dirais que la limite vaut 0... mais mon intuition se révèle fort douteuse dans la plupart des cas:P

[Joker62]

Haileau.

Continue la fonction f ?

[Euler911]

On supposera que oui, puisque ce n'était pas indiqué dans le post où j'ai trouvé l'énoncé.

[Joker62]

On prend x dans ]0;1[

So, si f continue on a pas de point fixe pour f (cad pas de f(x)=x)
Ainsi f(x) < x ou f(x) > x

Cas 1 : f(x) < x
------------------
Trivial par encadrement de l'intégrale

Cas 2 = f(x) > x
------------------

on a x < f(x) => f(x) < f^2(x) => ... f^n(x) <= f^(n+1)(x)
Ainsi la suite définie par f_n(x) = f^n(x) est croissante

Le théorème de Beppo-Levi nous dit qu'on peut inverser limite et intégrale

Et je pense que c'est correct :o

[mathelot]

aloha,

effectivement la limite est nulle

soit

l'idée est de couper l'intégrale en deux :



et de majorer (différemment) chaque intégrale:


la deuxième est epsilonesque si a est proche de 1.
la première aussi car f(a) < 1

[Joker62]

Encore mieux et sans continuïté :p
S'bon ça :)

[Euler911]

on a x f(x) ... f^n(x) <= f^(n+1)(x)
Ainsi la suite définie par f_n(x) = f^n(x) est croissante

Croissante? :hein:

Le théorème de Beppo-Levi nous dit qu'on peut inverser limite et intégrale

Ah... savais pas:P

[Matt_01]

Salut !

Je pense qu'en utilisant les sommes de Riemann on peut se demmerder :
avec m qui tend vers l'infini.
Or, pour tout réel vérifiant on peut trouver un entier tel que
Or, tous les vérifient cet encadrement.
Donc on peut trouver tel que
Et ainsi,
Et donc en faisant tendre n vers l'infini, on trouve zéro

[Euler911]

Merci, merci à tous! Je crois avoir assez d'éléments pour résoudre (et comprendre!!!) cet exercice.

Une question de vocabulaire cependant...

Que signifie-t-on par "majorer (différemment) chaque intégrale"?


Une autre question:
Le fait que f soit continue ou non ne change en rien la réponse?

[Joker62]

La continuïté n'intervient pas dans les deux autres preuves en effet.

Majorer différent les intégrales c'est à dire que pour la première on aura
comme x est inférieur varie entre 0 et a, on aura f(x) <= f(a) < 1 et en passant à la puissance n-ème puis à l'intégrale on pourra conclure.

La deuxième majoration diffère car on majore par (1-a)x Sup f sur [a;1] qui vaut 1
Et comme a est très proche de 1 on peut le rendre inférieur à un epsilon aussi petit qu'on veut.

[yos]

On prend x dans ]0;1[

So, si f continue on a pas de point fixe pour f (cad pas de f(x)=x)
Ainsi f(x) x

Pourquoi?

Cas 1 : f(x) x
------------------

on a x f(x) ... f^n(x) <= f^(n+1)(x)
Ainsi la suite définie par f_n(x) = f^n(x) est croissante

Le théorème de Beppo-Levi nous dit qu'on peut inverser limite et intégrale

Et je pense que c'est correct

Là on dirait que tu prends

Mais bon j'ai peut-être mal compris.

[Joker62]

So le premier point j'suis Ok j'viens de réagir.

Le deuxième :
f(x) < x => fof(x) < f(x) < x
On a f^n(x) < x
Et comme g(x)=x est intégrable on a le théorème de convergence dominée lol

Donc en gros oui j'ai fait n'imps :p
Merci pour la correction ;)

[lapras]

Juste un truc,
comment définissez vous f^n(x) ? f°f°...°f(x) (n fois) ou f(x)*f(x)*...*f(x) (n fois) ?

[Joker62]

Purée et j'ai encore fait la même erreur avec la puissance n-ième dans l'autre post...
J'mérite des claques :p

[Joker62]

C'est pour la composition.
f^n = fofo...of

[yos]

C'est pour la composition.
f^n = fofo...of

J'en suis pas sûr : les deux se font. D'ailleurs mathelot a utilisé l'autre je pense. Euler911 devrait avoir cette info.

[kazeriahm]

l'énoncé de l'exo veut que f^n soit égal à x->f(x)^n, sinon c'est faux il suffit de prendre l'identité sur [0,1]

[Euler911]

Euh... je pense que f^n(x)=f(x)*f(x)*...*f(x) n fois... Je ne vois pas pourquoi vous sortez la composition de fct...

[Joker62]

Mais si c'était pas pour la composition, on devrait écrire f(x)^n non ?

[Euler911]

Mais si c'était pas pour la composition, on devrait écrire f(x)^n non ?

Ah bon?! J'ai toujours vu la notation f^n(x) pour signifier la puissance nième d'une fonction...