Problème de proba

[neuneu]

Bonjour j'ai un problème de proba dont je n'arrive pas à résoudre certaines questions; Si vous pouviez m'aider s'il vous plait.
1) Soit n appartenant à N*. On pose E={1,...,n}.
Soit An={A appartenant à E: Card(A) est pair} et
Bn={B appartenant à E: Card(B) est impair}
Montrer que pour tout n appartenant à N* Card(An)=Card(Bn)=2^(n-1)

J'ai trouvé dans mon cours que di P(E) était une partie de E on avait
Card(P(E))=2^(Card(E))
ici çà nous donnerait 2^n
je vois bien qu'il doit y avoir une différence entre An et A que je n'arrive pas à exprimer.

2) n étudiants assistent à un cours de mathématiques. Quelle est la probabilité pour que le nombre d'étudiants qui s'ennuyent soit pair?
indication on prendra W l'ensemble de toutes les parties de E et on prendra pour P l'équiprobabilité.

Je pensais dire que c'était (2^(n-1))/n ( en utilisant 1) )mais je ne suis pas sure à cause de l'indication donnée

3) ( et dernière!) Soit n appartenant à N*. On décompose n en produits de facteurs premiers:
n=(produit des i=1 à k) des pi^(ai)
avec quelque soit i pi premier et ai>0, les pi étant 2à2 distincts.
Montrer que n possède (produit des i=1 à k)(ai +1) diviseur positifs.

Je ne comprends pas la réponse car si je décompose 18 = 2*3*3
et j'obtient en utilisant la formule 6 diviseurs positifs alors que je ne devrais en avoir que 3 non?

Merci pour vos explications !

[fahr451]

bonjour

je présume que c'est A inclus dans E et non appartenant

deux preuves

1 binôme de newton avec (1+1)^n et (1-1)^n en séparant les indices pairs des impairs


2 récurrence en fixant un élément a

[neuneu]

Bonsoir désolée de ne revenir que maintenant mais je n'ai pas toujours accès à internet...
Merci à toi fahr451 mais est ce que ce serait mal poli de ma part que tu m'expliques d'où vient (1+1)^n et (1-1)^n
j'ai bien compris que tu voulais séparer les pairs et les impairs mais je ne comprends pas d'où çà vient
Du fait de ma réponse tardive je comprendrai que tu ne me répondes pas

Tu as raison je voulais dire A inclus dans E et non appartenant
merci quand même et bonne soirée

[fahr451]

on fait ça pour que ça marche


(1+1)^n = 2^n = somme des k parmi n =

en séparant



somme des (2k parmi n ) + somme des ( 2k+1 parmi n) = S + S'


( 1-1)^n = 0 = somme (-1)^k (k parmi n) =

en séparant


somme ( 2k parmi n) - somme (2k+1 parmi n) = S - S '

donc S = S ' = 2^(n-1)

[neuneu]

Désolée je suis surement bouchée...
je comprends ce que tu dis sauf pourquoi tu pars de (1+1)^n= 2^n
( 1-1)^n = 0

[fahr451]

je pars de là parce qu 'il y a cinquante ans que je sais que ça va me mener au résultat

[neuneu]

Ok je te remercie de m'avoir aidé
bonne soirée