Problème de proba

[Stanley]

Bonsoir à tous

Voilà j'ai un problème en proba je sais vraiment pas comment m'y prendre ne serait-ce que pour démarrer :

Soit A, B et C trois évènements de même probabilité p tels que :
P(AnBnC) = 0 (lire "proba de A inter B inter C égale 0")

Prouver que p < 2/3 ( inférieur ou égal )

Quelqu'un aurait-t-il un indice s'il vous plait ?

Par avance, merci et bonne soirée :happy2:

[Stanley]

J'ai essayé de passer par la formule du crible mais ça ne m'avance pas beaucoup :

P(AuBuC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AnB) - p (AnC) - P (BnC)
P(AuBuC) = 3p - P(AnB) - p (AnC) - P (BnC )


avec P(AnB) p (AnC) P (BnC ) chacune inférieure à p (puisque l'intersection est restrictive)

C'est pas une bonne piste je suppose ?

[LB.]

Ta piste est bonne. Poursuis en développant P(AnB) et consorts ;)

[Stanley]

Merci beaucoup pour ta réponse. J'ai bien compris jusqu'à
P(AUB) + P(AUC) + P(BUC) - P(AUBUC) > 2
Mais je comprend pas pourquoi c'est absurde ?

[LB.]

C'est normal, au temps pour moi : mon explication était du grand n'importe quoi :dodo:

[Doraki]

C'est pas P(A u B u C) qu'il faut regarder mais P(nonA u nonB u nonC).

[Stanley]

p (nonA u nonB u nonC) = P (non(AnBnC)) = 1 - 0 = 1 (loi de Morgan)
p (nonA u nonB u nonC) = P(nonA) + P(nonB) + P(nonC) - P((nonA)n(nonB)) - p ((nonA)n(nonC)) - P ((nonB)n(nonC)) = 1


On a : P(nonA) + P(nonB) + P(nonC) = 3(1-p)

Donc :

3(1-p) - P((nonA)n(nonB)) - p((nonA)n(nonC)) - P((nonB)n(nonC)) = 1
3(1-p) - 1 = P((nonA)n(nonB)) + p((nonA)n(nonC)) + P((nonB)n(nonC))

On a :
P ((nonA)n(nonB)) < (1-p)
p ((nonA)n(nonC)) < (1-p)
P ((nonB)n(nonC)) < (1-p)

Donc P((nonA)n(nonB)) + p((nonA)n(nonC)) + P((nonB)n(nonC)) < 3(1-p)

Et on a ainsi 3(1-p) - 1 < 3(1-p)
Ce qui est valable pour tout p .... :cry: :cry:

Il doit y avoir une erreur

Edit : ou plutôt pas une erreur, mais ma minoration des P ((nonA)n(nonB)) est trop large d'où la validité pour tout p :S

[Doraki]

Tu as oublié le terme P(nonA n nonB n nonC) dans la décomposition.
Le but est de montrer que 2-3p >= 0, et 2-3p c'est ce que tu as à gauche de ton égalité.
Donc tu as plutot intérêt à minorer le reste, montrer que P(nonA n nonB) + ... + ... - P(nonA n nonB n nonC) >= 0, et pas le contraire.

[Stanley]

Ahhh merci !!!!!!
On peut démontrer que
P(nonA n nonB) + ... + ... - P(nonA n nonB n nonC) >= 0
en disant que
nonA n nonB n nonC est compris dans (nonA n nonB)u(nonA n nonC)u(nonC n nonB)
donc
P(nonA n nonB) + ... + ... >= P(nonA n nonB n nonC) ?

[Doraki]

Oui.
Et plus simplement on peut même dire que
P(nonA u nonB u nonC) <= P(nonA) + P(nonB) + P(nonC)

[Stanley]

Bah dis donc il était pas si simple cet exo (c'était censé être un tout petit truc type application directe du cours bah....)

Merci beaucoup pour votre aide Doraki et LB. :++: :++: