Problème d'optimisation

[Sarra90]

Bonjour à Tous ,

Je veux résoudre le problème suivant:

Trouver la valeur maximale d'un réel X1, la valeur maximale de X2, la valeur minimale de X3 et la valeur minimale de X3 tout en respectant les contraintes suivantes :

1 ≥ X1 > 0 et 1≥ X2 > 0 et 0> X3 ≥ -1 et 0 > X4> -1

et 1/2 ( |X1| + |X2| + |X3| +|X4| ) ≤ alpha avec alpha et un réel connu dans l'intervalle ]0, 1] .

Est-ce que c'est un problème d'optimisation multi-objectif et comment je peux le résoudre si c'est possible avec MATLAB ou autre logiciel .

Merci de m'aider

[aviateur]

Bonjour, Sauf si je n'ai pas compris l'exercice (mais alors il est mal posé), je ne vois pas pourquoi il faut un logiciel.
Par exemple X1 est le plus grand possible avec X2=X3=X4=0
il reste à choisir X1=min(1, 2\alpha) pour obtenir la valeur maximale de X1. Le reste est du même gabarit.

[Ben314]

Salut,
Je comprend pas bien la question :

- Soit tu veut chercher 4 trucs différents, c'est à dire dans un premier temps comment rendre X1 maximal en ayant rien à f.. des autres, puis, dans un deuxième temps comment rendre X2 maximal en ayant rien à f.. des autres, etc...
Et dans ce cas, c'est on ne peut plus couillon : par exemple si alpha>1/2, le max pour X1, c'est évidement 1. Et si alpha<=1/2 alors la borne supérieure pour X1, c'est 2.alpha (par contre, dans ce cas, il n'existe pas de maximum vu que tu n'a pas le droit de prendre X2, X3 et X4 nuls, mais seulement de les prendre très très proche de 0)

- Soit tu veut faire "tout en même temps" et dans ce cas, la question est totalement dénuée de sens vu que ça veut rien dire de rendre DEUX truc maximaux : Si tu as deux mecs, l'un fait 1m70 et 80Kg et l'autre 1m80 et 70Kg, c'est lequel qui est le plus grand et le plus lourd ?

[Sarra90]

En effet je veux trouver les valeurs de X1 , X2 , X3 et X4 aux même Temps tels qu'ils respectent les contraintes mentionnées . donc je veux qu'au meme temps X1 et X2 soient le plus proche de 1 et X3 et X4 le plus proche de -1 tout en ayant 1/2 ( |X1| + |X2| + |X3| +|X4| ) ≤ alpha par exemple alpha = 0.2 . j'espère que j'ai pu clarifier l'idée.

[Sarra90]

Bonjour, Sauf si je n'ai pas compris l'exercice (mais alors il est mal posé), je ne vois pas pourquoi il faut un logiciel.
Par exemple X1 est le plus grand possible avec X2=X3=X4=0
il reste à choisir X1=min(1, 2\alpha) pour obtenir la valeur maximale de X1. Le reste est du même gabarit.

En effet je veux trouver les valeurs de X1 , X2 , X3 et X4 aux même Temps tels qu'ils respectent les contraintes mentionnées . donc je veux qu'au meme temps X1 et X2 soient le plus proche de 1 et X3 et X4 le plus proche de -1 tout en ayant 1/2 ( |X1| + |X2| + |X3| +|X4| ) ≤ alpha par exemple alpha = 0.2 . j'espère que j'ai pu clarifier l'idée.

[Sarra90]

Salut,
Je comprend pas bien la question :

- Soit tu veut chercher 4 trucs différents, c'est à dire dans un premier temps comment rendre X1 maximal en ayant rien à f.. des autres, puis, dans un deuxième temps comment rendre X2 maximal en ayant rien à f.. des autres, etc...
Et dans ce cas, c'est on ne peut plus couillon : par exemple si alpha>1/2, le max pour X1, c'est évidement 1. Et si alpha<=1/2 alors la borne supérieure pour X1, c'est 2.alpha (par contre, dans ce cas, il n'existe pas de maximum vu que tu n'a pas le droit de prendre X2, X3 et X4 nuls, mais seulement de les prendre très très proche de 0)

- Soit tu veut faire "tout en même temps" et dans ce cas, la question est totalement dénuée de sens vu que ça veut rien dire de rendre DEUX truc maximaux : Si tu as deux mecs, l'un fait 1m70 et 80Kg et l'autre 1m80 et 70Kg, c'est lequel qui est le plus grand et le plus lourd ?

En effet je veux trouver les valeurs de X1 , X2 , X3 et X4 aux même Temps tels qu'ils respectent les contraintes mentionnées . donc je veux qu'au meme temps X1 et X2 soient le plus proche de 1 et X3 et X4 le plus proche de -1 tout en ayant 1/2 ( |X1| + |X2| + |X3| +|X4| ) ≤ alpha par exemple alpha = 0.2 . j'espère que j'ai pu clarifier l'idée.

[Ben314]

Donc je veux qu'au meme temps X1 et X2 soient le plus proche de 1 et X3 et X4 le plus proche de -1 tout en ayant 1/2 ( |X1| + |X2| + |X3| +|X4| ) ≤ alpha par exemple alpha = 0.2 . j'espère que j'ai pu clarifier l'idée.

Des deux mecs de 1m70 ; 80Kg et 1m80 ; 70Kg , c'est lequel dont la taille est la plus proche de 2m ET le poid le plus proche de 100Kg ?
Bref, bis et répéta : ça ne veut rien dire de sens de vouloir rendre PLUSIEURS truc maximaux (ou le plus proche possible de quelque chose).

[pascal16]

1 ≥ X1 > 0 et 1≥ X2 > 0 et 0> X3 ≥ -1 et 0 > X4> -1
1/2 ( |X1| + |X2| + |X3| +|X4| ) ≤ alpha avec alpha et un réel connu dans l'intervalle ]0, 1] .

<=> 1 ≥ X1 > 0, 1≥ X2 > 0, 0> X3 ≥ -1, 0 > X4> -1 et 1/2 ( X1 + X2 - X3 - X4 ) ≤ alpha dans l'intervalle ]0, 1] .

Si tu ne connais pas les liens entre X1,X2,X3,X4, tu fais une mini IA
pour X1,X2,X3,X4 par pas de 1/10 chacun
évaluer 1/2 ( |X1| + |X2| + |X3| +|X4| )
garder en mémoire X1,X2,X3,X4 qui minimise le résultat sous ta contrainte de départ
recommencer par pas de 1/100

variante
pour X1,X2,X3,X4 choisis aléatoirement
évaluer 1/2 ( |X1| + |X2| + |X3| +|X4| )
garder en mémoire X1,X2,X3,X4 qui minimise le résultat sous ta contrainte de départ
recommencer dans une zone plus petite

Si tu connais les liens entre X1,X2,X3,X4 :
_ méthode de la plus profonde descente
_ optimisation sous contrainte

[Ben314]

garder en mémoire X1,X2,X3,X4 qui minimise le résultat sous ta contrainte de départ

Quel "résultat" ?

Bon, ben faudrait peut-être un peu songer à utiliser sa cervelle...
Un type pour un "test" te file un bout de ficelle et un ciseau. Il te demande de couper le bout de ficelle en deux de façon à rendre les deux morceaux le plus grand possible. Tu fait quoi ?

[Sarra90]

garder en mémoire X1,X2,X3,X4 qui minimise le résultat sous ta contrainte de départ

Quel "résultat" ?

Bon, ben faudrait peut-être un peu songer à utiliser sa cervelle...
Un type pour un "test" te file un bout de ficelle et un ciseau. Il te demande de couper le bout de ficelle en deux de façon à rendre les deux morceaux le plus grand possible. Tu fait quoi ?

la solution optimale possible c'est de couper en moitié moitié , c'est un compromis qu'on cherche.

[Sarra90]

1 ≥ X1 > 0 et 1≥ X2 > 0 et 0> X3 ≥ -1 et 0 > X4> -1
1/2 ( |X1| + |X2| + |X3| +|X4| ) ≤ alpha avec alpha et un réel connu dans l'intervalle ]0, 1] .

<=> 1 ≥ X1 > 0, 1≥ X2 > 0, 0> X3 ≥ -1, 0 > X4> -1 et 1/2 ( X1 + X2 - X3 - X4 ) ≤ alpha dans l'intervalle ]0, 1] .

Si tu ne connais pas les liens entre X1,X2,X3,X4, tu fais une mini IA
pour X1,X2,X3,X4 par pas de 1/10 chacun
évaluer 1/2 ( |X1| + |X2| + |X3| +|X4| )
garder en mémoire X1,X2,X3,X4 qui minimise le résultat sous ta contrainte de départ
recommencer par pas de 1/100

variante
pour X1,X2,X3,X4 choisis aléatoirement
évaluer 1/2 ( |X1| + |X2| + |X3| +|X4| )
garder en mémoire X1,X2,X3,X4 qui minimise le résultat sous ta contrainte de départ
recommencer dans une zone plus petite

Si tu connais les liens entre X1,X2,X3,X4 :
_ méthode de la plus profonde descente
_ optimisation sous contrainte

Merci vous m'avez clarifié les choses.

[Ben314]

Ben le "léger" problème, c'est que la notion de "compromis", je vois pas comment tu peut traduire ça par un truc "carré carré" (donc utilisable en math. ou en informatique) : tu sait comment dire à un ordinateur "démerde toi, fait un COMPROMIS" ?
Donc pour rester dans le "très terre à terre", c'est quoi qui te fait dire que dans la solution (1/2;1/2) les deux morceaux sont plus grand que dans la solution (3/4;1/4) ?

P.S. et j’attends avec grand impatience de voir ce que tu va bien pouvoir faire de l'ago. proposé par Pascal...

[pascal16]

Ben, f(x,y,z,t)=1/2 (x+y+z+t) évaluée en un ensemble de points finis a bien un minimum, mais n'est pas forcément atteint en un seul point et n'est pas forcément le minimum de f sur une partie de ]0;1]x]0;1]x]0;1]x]0;1].

soit
X=(X1-X3)
Y=(X2-X4)
Z= 1/2(X+Y)
en représentant la fonction Z(X,Y) et en traçant le plan Z=alpha, les points en dessous du plan sont solution

Ensuite, comme dit Ben, si on ne précise pas comment on mesure l'erreur, on ne peut pas faire bien plus.

[Sarra90]

Ben le "léger" problème, c'est que la notion de "compromis", je vois pas comment tu peut traduire ça par un truc "carré carré" (donc utilisable en math).
Donc pour rester dans le "très terre à terre", c'est quoi qui te fait dire que dans la solution (1/2;1/2) les deux morceaux sont plus grand que dans la solution (3/4;1/4) ?

dans la solution (3/4;1/4) , 3/4 c'est grand (bien bien) mais 1/4 c trooop petit . par exemple tu veux acheter un produit le premier est troooop luxe mais trooop cher , le deuxième un peut moins luxe mais beaucoup moins cher . c'est ça le compromis ou ce qu'on appelle rapport qualité prix.

[Ben314]

C'est évidement (et clairement ça) le fond du problème : si on est dans R, la distance "naturelle" entre réels, c'est la valeur absolue de la différence donc personne ne précise ce que ça signifie pour un réel d'être "le plus proche possible de 5". Sauf que dans R^2, c'est déjà moins clair : si le contexte c'est de la géométrie avec des points de coordonnées (x,y), alors le distance "la plus naturelle" entre deux points, c'est évidement la distance euclidienne, mais si x et y désignent par exemple un poids et une taille, je vois pas trop pourquoi ça serait la distance euclidienne "la plus naturelle".
En plus, là on est en dimension 4 (donc peu probable que ce soit de la géométrie euclidienne).

Et de toute façon et dans tout les cas, ça me semble pas sain du tout du tout de dire (ou d'écrire) qu'on "veut rendre x et y le plus proche possible de 1" lorsque ce qu'on veut faire en fait c'est de "rendre le point (x,y) le plus proche possible du point (1,1)"

[Ben314]

Par exemple tu veux acheter un produit le premier est troooop luxe mais trooop cher , le deuxième un peut moins luxe mais beaucoup moins cher . c'est ça le compromis ou ce qu'on appelle rapport qualité prix.

Absolument... pas du tout...
Le rapport qualité prix, c'est la division du nombre représentant "la qualité" par celui représentant "le prix" et c'est donc un unique réel (et pas un couple de réel) et donc on peut tout à fait le maximiser.
Et c'est justement du fait que ça n'a aucun sens de "maximiser la qualité ET minimiser le prix" (=optimiser DEUX trucs à la fois) que ce qu'on fait c'est de maximiser le rapport entre les deux (=optimiser UN SEUL truc).

[Sarra90]

C'est évidement (et clairement ça) le fond du problème : si on est dans R, la distance "naturelle" entre réels, c'est la valeur absolue de la différence donc personne ne précise ce que ça signifie pour un réel d'être "le plus proche possible de 5". Sauf que dans R^2, c'est déjà moins clair : si le contexte c'est de la géométrie avec des points de coordonnées (x,y), alors le distance "la plus naturelle" entre deux points, c'est évidement la distance euclidienne, mais si x et y désignent par exemple un poids et une taille, je vois pas trop pourquoi ça serait la distance euclidienne "la plus naturelle".
En plus, là on est en dimension 4 (donc peu probable que ce soit de la géométrie euclidienne).

Et de toute façon et dans tout les cas, ça me semble pas sain du tout du tout de dire (ou d'écrire) qu'on "veut rendre x et y le plus proche possible de 1" lorsque ce qu'on veut faire en fait c'est de "rendre le point (x,y) le plus proche possible du point (1,1)"

orsque ce qu'on veut faire en fait c'est de "rendre le point (x,y) le plus proche possible du point (1,1)"[/quote] oui vous avez raison j'ai mal posé le problème en langage mathématique. alors je veux que (X1, X2 ) soit le plus proche du point (1,1 ) et (X4, X5) du point (-1, -1 ) avec 1/2( |X1| + |X2|
|X3|+|X1|) < (alpha =0.2 )

[Ben314]

oui vous avez raison j'ai mal posé le problème en langage mathématique. alors je veux que (X1, X2 ) soit le plus proche du point (1,1 ) et (X4, X5) du point (-1, -1 ) avec 1/2( |X1| + |X2|
|X3|+|X1|) < (alpha =0.2 )

Là, ça va toujours pas vu que tu continue à avoir un "ET" (donc DEUX trucs à optimiser). Mais bon, y'a qu'à dire que ce que tu veut, c'est de rendre (X1,X2,X3,X4) le plus proche possible de (1,1,-1,-1).
Cette fois la question à un sens... sauf que, il faudrait aussi que tu explique comment tu mesure la distance entre deux quadruplets. En math. (et dans la vie courante), il y a plusieurs options possible et bien évidement chacune de ces options risque de conduire à des optimum différents.
Bref, la question suivante, c'est de savoir quelle est l'unique valeur numérique qu'on va attribuer à un truc du style "la distance de (0.9 ; 0.85 ; -0.75 ; -0.95) à (1 ; 1 ; -1 ; -1)" sachant qu'en math "théorique", les 3 options les plus fréquentes sont :
1) Le maximum des écarts de coordonnées à coordonnées multiplié par un coeff. (dépendant de la coordonnée).
2) La somme des écarts de coordonnées à coordonnées multiplié par des coeff..
3) La somme des carrés des écarts de coordonnées à coordonnées multiplié par des coeff..