Un problème de lieu

[yos]

Bonsoir.

Voici un problème de lieu géométrique pas forcément évident :

Dans le plan, A,B et C sont des points alignés et M est un point variable, différent de B et de C. On note P et Q les projetés orthogonaux de A sur les droites (BM) et (CM). Quel est le lieu du milieu I du segment [PQ] ?

[alavacommejetepousse]

bonsoir
solution analytique ou géométrique attendue?

[Pythales]

Comment se déplace M ?

[yos]

solution analytique ou géométrique attendue?

Comme tu le sens.

Comment se déplace M ?

Il va partout (sauf en B et en C comme indiqué).

[Pythales]

P et Q décrivent respectivement les cercles de diamètre AB et AC, mais si M est quelconque, il me semble (je dis semble) n'y avoir aucun lien entre le déplacement de P et le déplacement de Q sur ces cercles.
Si le milieu de PQ décrivait une courbe, on pourrait faire une correspondance entre (le plan décrit par M) et (la courbe décrite par le milieu de PQ)

[yos]

P et Q décrivent respectivement les cercles de diamètre AB et AC, mais si M est quelconque, il me semble (je dis semble) n'y avoir aucun lien entre le déplacement de P et le déplacement de Q sur ces cercles.

Exactement.

Si le milieu de PQ décrivait une courbe, on pourrait faire une correspondance entre (le plan décrit par M) et (la courbe décrite par le milieu de PQ)

Ta correspondance a pas de raison d'être une bijection. Et d'ailleurs le lieu de I a pas de raison d'être une courbe.

[Pythales]

Pour moi, lieu géométrique a toujours été une courbe...
S'agit-il ici d'un domaine ?

[yos]

Un lieu géométrique est une partie du plan. Je ne vois pas pourquoi on se limiterai aux courbes. M ne décrit pas une courbe. I non plus.

[yos]

Je reviens sur ce problème avant qu'il ne tombe dans l'oubli. A noter qu'un logiciel de géométrie dynamique est très utile pour voir ce qui se passe.

Les points P et Q décrivent respectivement les cercles et de diamètre [AB] et [AC].
Supposons qu'il n'y ait pas de dépendance entre ces deux points.
Q étant fixé sur , le point I décrit le cercle , dont le centre Q' est le milieu de et le rayon est .
Quand on fait varier Q sur , Q' décrit le cercle (centre milieu de et rayon ).
En résumé, I décrit la réunion des cercles centrés sur et de rayon .
Le raisonnement précédent est valable si on intervertit les rôles de et de sorte qu'on peut supposer .
On voit alors que le lieu de I est une couronne de centre le milieu de et de rayons et .

L'hypothèse "pas de dépendance entre P et Q" est pas tout à fait exacte car pour chaque point P de , ily a une position interdite pour Q sur . Est-ce que ça change le résultat final? Je sais pas. On se retrouve avec une réunion de cercles privés d'un point, et on a bien l'impression que la couronne entière y passe. A moins qu'un point passe entre les gouttes.