Probleme étude de fonction

[Anonyme]

Bonsoir, j'ai un problème qui me pose problème !

On considère l'application f de ] 0 ; + l'infini [ dans R définie par :
f(x) = 1 / 1+ sin²(1/x)

1) résoudre f (x) = 1 puis f (x) = 1/2 ( réussi )
2) montrer que pour tout réel a > 0 on a f(] 0,a]) = [1/2,1]
3) L'application admet-elle une limite en 0 ?

Merci d'avance ;) (enfin juste un petit démarrage pas tout l'éxo hein?! )

[Anonyme]

petit coup de pouce:
j'ai regardé pour la limite: f n'en admet pas en 0
-étudie f(Un) en 0 puor une suite Un qui diverge et tend vers + l'infini (car 1/x tend vers + inf en 0, ça c'est connu)
-une fois cela fait tu cherche une autre suite qui tend vers + l'inf et pareil tu étudie f(Vn)
Si tu t'es bien débrouillé tu ne trouve pas la même limite
(pense aux propriétés du sinus!!!!....????)

[thomasg]

Bonsoir,

si tu as réussi la question 1, tu as prouvé que les deux équations proposées à l'exercice 1 avaient une infinité de solutions tendant vers 0 (dans chaque cas).

on montre facilement que f est encadrée par 1/2 et 1, et quel que soit a on peut trouver des solutions des deux équations inférieures à a, les bornes de l'intervalle [1/2, 1] sont donc atteintes.

A bientôt.

[Anonyme]

merci juste une vérification pour voir si je suis pas partie entierement de travers :).
on a bien sin²(1/x) = 2 / 1 + cos2x ?

[thomasg]

Bonsoir,

tout d'abord la formule que tu proposes n'a aucune utilité ici,

ensuite elle me semble fausse

en effet elle est égale à sin²(1/x) + sin²(1/x)(cos2x)=2 , chacun des deux termes du premier membre étant inférieur à 1, leur somme est donc inférieure à 2.

Redemande si tu as encore besoin d'aide.

A bientôt.

[Anonyme]

Oula en fait j'etais carrément partie de travers, il faut a tout prix que je revois mes regles de trigonométrie.
En fait je ne me souviens plus du tout comment marche sin² donc encore moins comment sin²(1/x) = 0 et sin²(1/x) = 1

( Sinon les questions 2 et 3 j'ai reussi grace a vos conseils et aux suites ;) merci )

[thomasg]

Bonjour,

pour la question 1

f(x)=1 équivaut à 1+sin²(1/x)=1 équivaut sin²(1/x)=0 équivaut à 1/x=0+k*pi
équivaut à x=1/(k*pi)

(tu vois, il ne me semble pas qu'il soit nécessaire de connaître toutes les formules trigo, réfléchir suffit parfois)

A bientôt.