Problème : étude de fonction, intégrale.... (bio sup)

[yonyon]

Bonjour, je bloque pas mal sur ce problème: je vous ai mis en italique, les questions qui me bloquent...
J'ai édité mon message pour que les questions déjà résolues ne soient plus en italique...

On pose pour tout réel x,
1) Montrer que F est définie sur R, c'est bon

2) a- Calculer F(0) et F(1)

b- montrer à l'aide d'une IPP que:
I=, c'est bon

c- en déduire une relation entre F(1) et F(2).
C'est là que je bloque car dans l'expression de F(2), il n'y a pas de t² comme il y a dans l'expression de l'intégrale qu'on nous fait calculer à la question c....
RESOLU

d) Plus généralement, établir une relation de récurrence entre F(n) et F(n+1) et montrer que l'on peut ainsi calculer F(n) pour tout entier naturel n.
Je pense que le fait de trouver la question c peut m'aider à conjecturer une relation de récurrence que je démontre ensuite par récurrence, non?
RESOLU

e) Calculer F(-n) pour tout entier naturel n non nul. Donner les valeurs de F(-1) et F(-2) sous forme de fractions.
Je ne vois pas trop comment faire car j'ai
Pour F(-1), c'est bon, j'ai F(-1)=4/3 et F(-2)=28/15, mais dans le cas général, comment faire? dois-je développer la puissance en utilisant la formule du binôme??
RESOLU

3) Montrer que F est décroissante sur R. J'ai du mal dans la mesure où "le x est dans l'intégrale", je ne vois pas trop comment dériver F... et en plus je ne pense pas qu'il faille dériver car c'est ce qu'on nous demande dans la question 6d
RESOLU

4) a- Lorsque x est strictement négatif, déterminer le sens de variation de la fonction sur [0;1] puis exprimer sa valeur en t=1/2. C'est bon, je trouve que c'est une fonction croissante et que en t=1/2, ça fait (4/5)^x

b- En déduire que : lim en -oo de F =+oo, je ne vois pas trop comment faire ...
RESOLU

c- Déterminer lim en -oo de F(x)/x. Qu'en résulte t-il pour la courbe représentative de F quand x tend vers -oo? Je ne vois pas trop comment calculer cette limite, je sais qu'après, ça me permet de trouver une asymptote oblique, mais...

5)a- Montrer que pour t compris entre 0 et 1, , c'est bon

b- En déduire que :
c'est bon, il suffit d'utiliser la croissance de l'intégrale.

c- Soit g la fonction définie sur R par
Pour x>0, exprimer à l'aide de la fonction g. En déduire que lim en +oo de F(x)=0 (on montrera que g admet une limite en +oo en comparant et pour u supéreieur ou égal à 1.
Je ne vois pas trop comment faire, pour le changement de variable, je n'arrive pas à trouver ce qu'il faut poser comme u, je pensais poser u=xt mais je n'arrive pas au bon résultat...

6) a- Soit . Justifier l'existance de g(x) pour tout réel x. C'est bon.

b) Montrer que .
Je ne vois pas trop comment faire...
RESOLU

c) Montrer que
Je sais pas trop comment m'y prendre...

d) En déduire que F est dérivable et préciser F'. Retrouver le résultat de la troisième question. Je vois bien qu'il faut chercher la limite du taux d'accroissement de f mais ce qui me gène, c'est le g(x0)...

e) Calculer F'(0). Je pense qu'une fois la dérivée trouvée, plus de problème!

Merci d'avance pour votre aide

[abel]

c°) 1=(1-t²)+t² ... et le (1-t²)/(...) doit se primitiver de maniere "assez simple" (enfin espérons).
d°) pareil avc F(n) et F(n+1) (là je sais pas s'il est meilleur de conjecturer puis demontrer ou s'il vaut mieux calculer comme dans la question precedente F(n) et F(n+1) car je n'ai pas le resultat de F(2) en fct de F(1))
e)...
Je pense que oui la formule du binome t'amene au resultat c'est certain.
f) calcule f(a) - f(b) avec a>b (utilise la linearité de l'integrale ce qui t'amenra à etudier ce qu'il ya d'ans l'integrale (savoir si c positif ou negatif)
Sinon tu as peut etre vu un theoreme là dessus disant qu'on peut "permuter" le signe intégral et la dérivation modulo une hypothèse de domination (normalement ca se voit en spé)
b°) moi j'utiliserais une formule de la moyenne disant que 'lintegrale (0à1, de f(t)dt) = f(c)*(1-0) (avc c dans ]0,1[ : c'est un corollaire du TAF,ainsi tu obtiens un moyen de calculer la limite de F en + et - l'inf)


Bon je vais en rester là. N'hesite pas à dire si des trucs sont pas clairs...bon courage.

[yonyon]

Merci pour votre aide, ça m'a bien débloqué, j'en suis désormais à la question 4c où je ne vois pas du tout comment faire...

[abel]

Je te donne la 6b°)
Il faut utiliser le fait que :
e^(a+h) = e^a+h*e^a+h²/2*e^a+int(a à a+h;e^t*t²/2! dt)
(cf formule de taylor)
puis tu remplaces h par a et tu dis que l'integrale à la fin est tjs positive (logique car on integre une fct positive).

EDIT : Il va falloir tout diviser par exp(a), puis il se trouve que le a²/2*e^a va devenir a²/2 ce qui n'est pas souhaité. Alors il suffit de dire que a²/2 <= a²/2*exp(|a|) car exp(|a|)>=1 car |a|>=0.
Voilà normalement ca marche bien.

[zorg]

Je prends le problème en cours de route à partir de la question 4

question 4b)

Notons

De sorte que

On a la minoration

Or pour tout donc par croissance de l'intégrale:

ce qui prouve que
en -infini car

[nyafai]

pour calculer lim F(x)/x en -00 tu peux peut-etre utiliser le fait que:
lim F(x)/x= lim F(-n)/(-n) quand n tend vers +00 et comme j'ai l'impression que tu as trouvé une expression de F(-n), ca doit marcher.

[yonyon]

Merci beaucoup, je n'avais pas pensé à utiliser la caractérisation séquentielle de la limite mais j'ai et en divisant par n, je en vois pas trop ce que ça me donne coomme limite...

[nyafai]

je pense qu'il est possible d'obtenir une expression plus simple de F(-n) en effectuant des calculs analogues à ceux qui t'ont donné F(n).

on peut montrer par ipp qu'on peut exprimer en fonction de n et comme (facilement démontrable) on doit pouvoir en déduire une expression de F(-n) plus simple en fonction de n.

Il est possible que ca ne marche pas (je n'ai pas fait tous les calculs) mais tu peux chercher dans ce sens. je regarderai peut-etre plus en détail les calculs plus tard pour voir si c'est possible.

[yonyon]

J'ai essayé ces calculs mais je n'y arrive pas...
Merci encore

[yonyon]

Je suis en train de recopier le début de mon devoir et je tombe sur un problème qque je n'avais pas vu avant : pour la question 5b, l'inégalité est à démontrer quel que soit x non nul , mais ça ne marche pas pour x<0, si?
Pour les calculs de limite, je m'en suis sortie à peu près avec l'aide d'une amie.
Je n'ai pas fait avec F(-n) mais j'y suis arrivée en encadrant comme pour la question 4b
Si de plus, vous avez un tout petit peu de temps, pourriez-vous m'aider un peu pour les questions 6c et 6d, car j'ai cherché et je bloque vraiment...
Merci encore

[mimi27]

Bonjour, j'ai a peu près le même devoir a faire et je bloque sur plusieurs questions car je n'ai pas du tout de cours sur les fonctions définies par une intégrale. Par conséquent je ne sais pas étudier cette fonction, comment la dériver ... En gros je ne connais pas les règles en matière de fonction définie par une intégrale. Si quelqu'un pouvait m'éclairer un peu ça serait bien, par exemple pour la 1ere question, comment justifier le fait qu'elle est définie?!!, ou encore comment étudier ses variations
Merci par avance de votre aide

[sandrine_guillerme]

Salut
Tiens ce site
http://www.sciences.ch/dwnldbl/mathematiques/telecharger.php3 il etais poster par un membre et il contient bien entendu les cours de maths et tu pourrais bien entendu trouver ton bonheur..
Si tu crois qu'on va faire ton exo, je crois que tu t'es trompé d'endroit . :smoke2:

[mimi27]

Bonjour, je te remercie pour le lien.
En aucun cas je n'ai demandé qu'on me fasse mon exercice :doh:
Tout ce que je voulais c'était un peu d'aide et des infos sur les fonctions définies par une intégrale ... rien de plus!
Encore merci

[sandrine_guillerme]

Bonjour, j'ai a peu près le même devoir a faire et je bloque sur plusieurs questions car je n'ai pas du tout de cours sur les fonctions définies par une intégrale. Par conséquent je ne sais pas étudier cette fonction, comment la dériver ... En gros je ne connais pas les règles en matière de fonction définie par une intégrale. Si quelqu'un pouvait m'éclairer un peu ça serait bien, par exemple pour la 1ere question, comment justifier le fait qu'elle est définie?!!, ou encore comment étudier ses variations
Merci par avance de votre aide

Aucun probleme sache que la question de définition des fonctions dépendant d'un paramètre peut avoir l'air très facile .. mais je te conseille de te méfier parceque des fois on se ramène au piège tu dois vraiment faire attention .. brefons tester la définition de l'intègrale c'est tester est ce qu'elle est continue dans la borne .. et quand tu lira le cours des intègrales dépendant d'un paramètre t'aura compris.. en outre il existe de très joli thèorème qui nous aide à calculer la dérivée quand il s'agit par exemple de deux bornes définies par des fonctions à des valeurs définis dans un intervalle.. tout ça peut te paraitre comme une charabia .. mais sache que le cours sur l'intègration est un cours de rigueur .. et quand tu arrivera à étudier les variations .. après çe sera que des manipulations de notions que tu as vu en terminale.. Bref plonge toi sur le lien et au cas ou t'as des laccunes .. signale les je te réponderais si j'ai les moyens de le faire ..
Bon courage !