Probléme de diagonalisation de matrice

[moumoune1212]

Bonjour ,
J'ai un soucis pour résoudre une partie d'un exercice .
Alors voici l'énoncé :
Soient E un eV réel de dimension 3 et B=(e1,e2,e3) une base de E . Considérons l'endomorphisme u de E tel que MatB(u) = A où A = 1/2 ( 1 1 1 )
1 1 -1
4 -4 -2

Il me demande de détermniner une matrice B'=e1' , e2' , e3' de E telle que la matrice u dans cette nouvelle base soit ( -2 0 0
0 1 0
0 0 1)

J'ai tenté de diagonaliser A en vain . Ou de multiplier A par une matrice (a b c
d e f
g h i )
et de faire un système afin de déterminer les valeurs des coefficients
ou encore d'utiliser la formule u= P^-1 A P

POurriez vous m'aider s'il vous plait ?

Merci d'avance

[Joker62]

Hello !

Tu trouves quoi comme polynôme caractéristique ?

[moumoune1212]

Hello !

Tu trouves quoi comme polynôme caractéristique ?

Je n'ai jamais fait ca , on a pas vu le cours correspondant encore donc je ne savais meme pas qu'il fallait trouvé un polynome caractéristique .
Pourriez vous me guider s'l vous plait ?

[moumoune1212]

Je n'ai jamais fait ca , on a pas vu le cours correspondant encore donc je ne savais meme pas qu'il fallait trouvé un polynome caractéristique .
Pourriez vous me guider s'l vous plait ?

en faisant des recherches sur internet j'ai fait A-µId et apres j'ai fait le determinant et j'ai trouvé
-µ^3 + 3µ -2
j'ai cherché les racines j'ai trouvé 1 et -2 donc j'ai cherché ensuite les vecteurs propres pr chaque valeurs propres en remplacant la valeur de µ dans la matrice A-µId et en multipliant par un vecteur (x1,x2,x3) et j'ai resolu le système mais j'ai un problème pour la valeur -2 car je ne parviens à trouver de solution . sinon pour 1 j'ai trouvé (2,1,1) et (0,1,-1) comme vecteurs propres .

[Joker62]

Étrange de diagonaliser une matrice sans avoir vu le cours !

Pour vérifier tu as le site WIMS
Mais sinon c'est ça.

[moumoune1212]

Étrange de diagonaliser une matrice sans avoir vu le cours !

Pour vérifier tu as le site WIMS
Mais sinon c'est ça.

Bah on a pas eu le temps de tout faire avant et c'est soit disant pour nous aider à developper notre instinct de recherche ! enfin .
Mais j'ai un soucis il me manque un vecteur propre et je ne parviens pas à le trouver pr la valeur de µ = - 2

[Joker62]

Bah on a pas eu le temps de tout faire avant et c'est soit disant pour nous aider à developper notre instinct de recherche ! enfin .
Mais j'ai un soucis il me manque un vecteur propre et je ne parviens pas à le trouver pr la valeur de µ = - 2

Il faut calculer A+2Id
Et chercher son noyau.

[moumoune1212]

Il faut calculer A+2Id
Et chercher son noyau.

Donc j'ai fait et j'ai trouver du coup
P= ( 1 1 0
-1 0 1
4 1 -1
J'ai triangularisé cette matrice et j'ai fait en meme temps les memes opérations sur la matrice identité pour obtenir
P^-1 = 1 -1 1
0 1 -1
0 0 1

Le problème c'est que lorsque je fait P^-1*A*P je n'obtiens pas u .

[Joker62]

C'est pas 1;-1;-4 la première colonne ?

Pour inverser ta matrice, tu fais forcément avec Gauss ?
La méthode des Cofacteur ça te dit rien ? (Pour les 3x3 ça se fait assez vite logiquement)

[moumoune1212]

C'est pas 1;-1;-4 la première colonne ?

Pour inverser ta matrice, tu fais forcément avec Gauss ?
La méthode des Cofacteur ça te dit rien ? (Pour les 3x3 ça se fait assez vite logiquement)

le problème c'est l'ordre des vecteurs ou le vecteur propre (1,-1,-4) qui ne va pas ?
Non je ne connais pas encore la méthode des cofacteurs .

Déjà pourquoi faire A+2Id ?
Sinon j'ai déterminer le noyau et j'ai trouver comme vecteur (1,1,-6) est ce que c'est ca et je ne sais pasoù le placer dans la matrice P ensuite 1ere ou 2 eme ou 3 eme colonne ?

[Joker62]

Hello, l'ordre des colonnes n'est pas important.

Alors on reprend ;
Polynôme caractéristique : X^3 - 3X + 2
Deux racines : 1 (qui est une racine double ) et -2 qui est une racine simple.

On cherche les sous espace propres :

Pour 1 : On calcule le noyau de A - Id
On trouve qu'il est engendré par deux vecteurs (1;0;1) et (0;1;-1)

Pour -2 : On calcule le noyau de A + 2Id
On trouve qu'il est engendré par le vecteur (1;-1;-4)

Ainsi, la valeur propre double a un espace propre de dimension 2, et la valeur propre simple, un espace propre de dimension 1. A est donc diagonalisable.

On note P la matrice :
1;0;1
0;1;-1
1;-1;-4

Et bien, il reste à calculer son inverse

Et tu as ton résultat

[moumoune1212]

Hello, l'ordre des colonnes n'est pas important.

Alors on reprend ;
Polynôme caractéristique : X^3 - 3X + 2
Deux racines : 1 (qui est une racine double ) et -2 qui est une racine simple.

On cherche les sous espace propres :

Pour 1 : On calcule le noyau de A - Id
On trouve qu'il est engendré par deux vecteurs (1;0;1) et (0;1;-1)

Pour -2 : On calcule le noyau de A + 2Id
On trouve qu'il est engendré par le vecteur (1;-1;-4)

Ainsi, la valeur propre double a un espace propre de dimension 2, et la valeur propre simple, un espace propre de dimension 1. A est donc diagonalisable.

On note P la matrice :
1;0;1
0;1;-1
1;-1;-4

Et bien, il reste à calculer son inverse

Et tu as ton résultat

Et bien je trouve comme matrice inverse de P :
5/6 1/6 1/6
1/6 5/6 -1/6
1/6 -1/6 -1/6

Mais le soucis c'est que lorsque je fais le produit P*A*P^-1 pour verifier si je tombe bien sur u ce n'est pas le cas . comment cela se fait ?
Si je fais le calcul je tombe sur :
1 0 0
0 1 0
0 0 -2 ce qui est presque u

car u = -2 0 0
0 1 0
0 0 1

est ce que c'est correct quand meme ?

[Joker62]

Et bien je trouve comme matrice inverse de P :
5/6 1/6 1/6
1/6 5/6 -1/6
1/6 -1/6 -1/6

Mais le soucis c'est que lorsque je fais le produit P*A*P^-1 pour verifier si je tombe bien sur u ce n'est pas le cas . comment cela se fait ?
Si je fais le calcul je tombe sur :
1 0 0
0 1 0
0 0 -2 ce qui est presque u

car u = -2 0 0
0 1 0
0 0 1

est ce que c'est correct quand meme ?

Hello !
C'est la même chose (modulo la permutation d'un vecteur propre)
En fait, si tu veux la valeur propre -2 en premier, tu mets le vecteur propre associé en premier.
etc...

[moumoune1212]

Hello !
C'est la même chose (modulo la permutation d'un vecteur propre)
En fait, si tu veux la valeur propre -2 en premier, tu mets le vecteur propre associé en premier.
etc...

d'accord !
Et bien je vous remercie beaucoup de votre aide car sans le cours ce n'est pas très évident !
Passez de bonnes fêtes de fin d'années !