Bonjour,
Je n'ai pas d'idée précise mais je chercherais du côté des sous-groupes du groupe en question : chercher un sous-groupe d'ordre pair, ou un sous-groupe d'indice pair.
Une idée serait d'essayer d'utiliser une action du groupe sur un ensemble: si un des stabilisateurs ou une des orbites a un cardinal pair alors l'ordre du groupe est pair, d'après la formule Card(Orb(x)) = card(G)/card(Stab(x)).
On peut aussi essayer d'utiliser le résultat sur le centre Z de
)
: c'est le sous-groupe formé des matrices Id et -Id. Deux cas possibles : Z est inclus dans G et le problème est résolu, ou Z n'est pas inclus dans G, il faut soit montrer que c'est impossible, soit trouver une autre solution.
On peut aussi essayer de construire un sous-groupe non commutatif de petit cardinal de
pour voir pourquoi on ne trouve pas si l'ordre est impair.
