Un problème de convexité

[egan]

Salut tout le monde,

Soit E un espace vectoriel normé et U un ensemble fermé de E tel que pour tout x,y dans U, (x+y)/2 est dans U.
Alors U est convexe.

Est-ce que quelqu'un a une idée de preuve autre qu'une décomposition en base 2 ?

Merci d'avance.

@+ Boris.

[adrien69]

Par l'absurde, soient x,y dans U et dans [0,1] tels que

Soit , non vide, minoré par 0, majoré par 1,
Soit ,
Comme U est un fermé et sont dans U.
On en déduit dès lors que leur milieu a est dans U.
En regardant le milieu de a et de x et le milieu de a et de y (faire un dessin d'un segment), on montre que ne peut qu'être égal à

Conclure est alors évident.

[egan]

Je ne comprends pas bien pourquoi devrait être dans U.

[egan]

Personne ?

[Doraki]

Est-ce que quelqu'un a une idée de preuve autre qu'une décomposition en base 2 ?

Non. Il n'y a essentiellement qu'une seule preuve.