Problème de Cauchy

par **marawita1** » 31 Mar 2015, 12:39

Bonjour,
On considère le problème de Cauchy:

1)Vérifier que

et

définies par

pour tout t et

et égale 0 si non, sont bien solutions du problème de Cauchy.

2) Ce problème admet-t-il une solution maximale?

par **mathelot** » 31 Mar 2015, 16:15

bjr,
l'énoncé ne pose aucune difficulté. C'est un (contre-)exemple où l'on a
deux solutions maximales, définies sur R tout entier.
F(y',y) n'est pas localement lipschitzienne au voisinage de 0.

par **marawita1** » 31 Mar 2015, 16:30

Concernant la deuxième question, j'ai trouvé par hasard la correction suivante:Supposons que le problème admet une solution maximale phi: ]a, b[--->R.Puisque y_0 est solution alors y_0 est restriction de phi càd ]a, b[= R et phi(t)=0 pour tout t dans R. De même phi(t)=y_1(t) pour tout t dans R. Contradiction.
C'est ça que m'étonne.

Moi aussi j'ai dit le problème admet des solutions maximales, en effet y_0 et y_1 sont des solutions globales et par suites elles sont maximales. C'est bien ça?
Merci bien.

par **mathelot** » 31 Mar 2015, 18:34

marawita1 a écrit: le problème admet des solutions maximales, en effet y_0 et y_1 sont des solutions sont maximales. C'est bien ça?
Merci bien.

oui, c'est cela. L'exercice n'a aucun intérêt calculatoire mais constitue
un contre-exemple intéressant.

par **paquito** » 31 Mar 2015, 21:17

Non,

est une solution maximale, mais

ne l'est pas car non dérivable en 0.

par **Ben314** » 31 Mar 2015, 23:43

paquito a écrit:... mais ne l'est pas car non dérivable en 0.

??? Ah bon ???
(vérifie...)

par **mathelot** » 01 Avr 2015, 06:34

est même de classe C1 (continuement dérivable) :doh:

par **paquito** » 01 Avr 2015, 08:25

mathelot a écrit: est même de classe C1 (continuement dérivable) :doh:

:marteau: effectivement, j'ai lu trop vite et je n'ai vu que

!

par **marawita1** » 02 Avr 2015, 19:20

Bonsoir,
On considère le probleme de Cauchy suivant

.

Montrer que pour tout

, ce problème admet une unique solution maximale.

Réponse:

avec

définie par

C'est clair que f est continue sur

, de plus pour tout

on a

(d'après l'inégalité triangulaire inverse

pour tout réels a et b)

Par suite f est localement lipschitzienne par rapport à la deuxième variable (même globalement lipschitzienne).
D'après le théorème de Cauchy Lipschitz, ce probleme admet une unique solution maximale.

C'est vrai?

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