Problème de Cauchy

[AceVentura]

Bonsoir,

je me demande comment on prouve le théorème de Cauchy dans le cas des équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants ? Disons pour les notations que est solution de avec et . Comment on montre l'existence et l'unicité de ?

Merci.

[miikou]

salut,

Tu saurais montré que l'ensemble des solution est un espace vectoriel de dim 2 ?

[AceVentura]

Je sais prouver que l'ensemble des solutions de l'équation homogène à coefficient dans , que je note , est un -sous-espace vectoriel de l'ensemble des fonctions de dans : c'est assez simple ! Maintenant, pour ce qui est de sa dimension, c'est deux je présume ! Mais comment le prouver ?

[miikou]

en donnant la solution general de l'équation homogene

[AceVentura]

Dans le cas complexe, les solutions sont de la forme (discriminant nul) ou (discriminant non nul). Dans le cas réel, c'est la même chose et il faut ajouter la forme (dicriminant strictement négatif).

Les fonctions et génèrent donc les solutions ? Il faut que je prouve que est une base alors ?

[miikou]

oui ca me parait juste

[AceVentura]

Je vais essayer de voir si c'est libre déjà, en considérant une combinaison linéaire non triviale : avec me donne ; puis en dérivant l'égalité avec me donne .
Le déterminant du système obtenu est car les racines sont distinctes : mais c'est pas toujours le cas, il y a parfois une racine double et du coup je me demande si c'est pas ici un cas pathologique.
Alors les solutions sont a=b=0 selon les règles de Cramer. C'est donc libre : je suis pas vraiment convaincu à cause du cas de la racine double !

[miikou]

si la racine est double alors l'ensemble des solution de lequation homogene associée est vect(xe^rx , e^rx)

axe^rx + be^rx = 0

prend en x=0 => b=0
ensuite prend en 1 et conclus

[AceVentura]

Ok ! L'ensemble des fonctions de dans étant un espace vectoriel de dimension 2 (?), le seul fait d'avoir montré que la famille de deux éléments était libre, est-ce suffisant pour conclure ? J'veux dire, ils sont en nombres suffisants, non ? Pas de besoin de regarder si c'est générateur, même si on le voit bien à la forme des solutions.

Sinon, quel rapport avec le problème de Cauchy ?

[miikou]

salut,

et bien cela montre qu'il ya une unique solution sous tes conditions

[AceVentura]

Comment ça ?