Problème avec Cantor

[veapprendre]

Bonjour je suis débutant en math.
J'ai un problème de compréhension sur le théorème de CANTOR.

L'application f(x) = x² de R dans R+ est bien surjective.
R+ est bien une partie de R ce qui contre dit Cantor.

Où est mon erreur dans mon raisonnement? SVP

[SimonB]

Il vaudrait mieux rappeler de quel théorème de Cantor tu parles. Je suppose qu'il s'agit du suivant :

Théorème : si E est un ensemble, E ne peut être mis en bijection avec l'ensemble de ses parties.

Il n'y a aucune contradiction ; on ne dit pas qu'il n'existe pas de partie de E telle que E ne peut être mis en bijection avec E (c'est trivialement faux : en effet, E EST une partie de E, et l'application identité met donc bien E en bijection avec lui-même...), mais que E ne peut être mis en bijection avec l'ensemble de tous ses sous-ensembles.

Pour contredire le théorème avec R, il faudrait que tu trouves une application qui à tout x réel associe un sous-ensemble de R, et qui soit bijective (ne cherche pas trop, c'est impossible).

Petit exercice pour vérifier que tu as bien compris ce qu'est l'ensemble des parties : quel est l'ensemble des parties de l'ensemble ?

[veapprendre]

Je dirais : F={{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}

Le théorème énoncé est le suivant:

Il n'existe aucune application surjective d'un ensemble E sur P(E).

Donc ici P(E) définit l'ensemble des parties de E?

Je suis vraiment désolé mais j'aimerais vraiment comprendre.

[SimonB]

Oui, P(E) désigne l'ensemble des parties de E. Et tu as compris ce dont il s'agissait dans l'exemple donné, tu devrais donc comprendre que ton exemple du premier message ne contredit pas le théorème. :)

[veapprendre]

Merci, c'est plus clair maintenant.

[nodjim]

Dans l'ensemble des parties, n'aurait on pas dû ajouter l'ensemble vide ?

[Judoboy]

Dans l'ensemble des parties, n'aurait on pas dû ajouter l'ensemble vide ?

Si, exact.