DM - Théorème de Cantor-Bernstein

[arnaud32]

repasse tout simplement par la definition

[Maxmau]

Re,

J'ai un peu de mal à justifier proprement que M est la partie maximale de S. C'est super intuitif...

Rebj
Pour tout A de S, on a: A contenu dans M
D’où (croissance de G) : G(A) contenu dans G(M)
Par définition de S, on a: A contenu dans G(A)
Finalement: A contenu dans G(A) lui-même contenu dans G(M)
Tout A de S est contenu dans G(M)
La réunion de tous les A de S est donc contenue dans G(M)
Conclusion: M contenu dans G(M) d’où M est dans S
M est un élément de S qui contient tous les éléments de S
M est donc le plus grand élément de S (au sens de l’inclusion)

Attention: ne confonds pas élément maximum (plus grand élément) et élément maximal

Remarque: M contenu dans G(M) entraine (croissance de G) G(M) contenu dans G(G(M)) donc G(M) est dans S et contient M. conclusion: G(M) = M

[Lostounet]

Rebj
Pour tout A de S, on a: A contenu dans M
D’où (croissance de G) : G(A) contenu dans G(M)
Par définition de S, on a: A contenu dans G(A)
Finalement: A contenu dans G(A) lui-même contenu dans G(M)
Tout A de S est contenu dans G(M)
La réunion de tous les A de S est donc contenue dans G(M)
Conclusion: M contenu dans G(M) d’où M est dans S
M est un élément de S qui contient tous les éléments de S
M est donc le plus grand élément de S (au sens de l’inclusion)

Attention: ne confonds pas élément maximum (plus grand élément) et élément maximal

Remarque: M contenu dans G(M) entraine (croissance de G) G(M) contenu dans G(G(M)) donc G(M) est dans S et contient M. conclusion: G(M) = M

Merci Maxmau pour cette réponse!

J'ai donc réussi cette partie. Maintenant, je cherche à montrer proprement que l'application suivante est croissante:

Avec: f est une injection de E dans F et g une injection de F dans E
Les C désignent les complémentaires des parties considérées.

Prenons A une partie de E et B une partie de E telle que

Comme f est une injection de E dans F, on a

Alors je pense qu'on devrait avoir ...



Par prise du complémentaire dans E.



Alors ... donc G est croissante?

[Ben314]

Salut lostounet : content de te relire !

Effectivement, cela prouve que G est croissante (pour l'inclusion) et, en fait, il n'y a nul besoin de supposer f et/ou g injective ici : l'implicatin A c B => f(A) c f(B) est vraie pour toute fonction f (c'est pour la réciproque qu'il faut que f soit injective)

[Lostounet]

Salut Ben ! de retour sur le forum !?

Je suis un peu d'accord vu qu'on est en train de prendre un ensemble 'plus grand', f(B) aura toujours f(A) plus les images des éléments de C_E(A)...

Donc je suppose que si on a f(A) c f(B), avec f une surjection, il se peut par exemple que f ramène tous les éléments de B vers deux éléments de F, et tous les éléments de A vers un de ces deux éléments (avec A un ensemble plus grand que B). Dans ce cas, on ne peut pas dire que A c B.

Il faut que f soit au moins injective comme ça on est sûr que A c B..

Je vais y arriver...