Probleme d'algebre lineaire

[thedarkmeteor]

bonjour, je veux de l'aide, je n'arrive pas a resoudre cet exercice, si quelqu'un pourrait me donner la solution ou la maniere de travailler, je serai reconnaissant, j'ai un examen dans 2 jours et je n'y arrive pas, surtout pour trouver g!

soit f l'application lineaire de R3 dans lui meme, tel que:

f(x,y,z)=(10x+7z , 2x+3y+2z , -8x-8z)

1-calculer la matrice A de f dans la base canonique (e1,e2,e2) de R3
2-l'application f est elle bijective? que valent ker f et Im f?

soit g l'application lineaire definie dans R3 par:

g(x,y,z)=f(x,y,z)-3(x,y,z)

3-quelle est la matrice B de g dans la base canonique (e1,e2,e3)?
4-determiner le noyau de g en en donnant un systeme d'equations ainsi qu'une base V=(v1,...)
5-en deduire la dimension de Im g
6-determiner l'image de g en en donnant une base, puis la caracteriser par des equations
7-completer V en une base de W de R3
8-donner la matrice P de passage de (e1,e2,e3) a W
9-rappeler la formule donnant la matrice C de f dans la base W en fonction de la matrice A et de P. calculer explicitement C
10-retrouver par un autre moyen la matrice C en calculant directement f(W)

Merci d'avance!

[Ben314]

Salut,

Indications :

1) Il suffit d'appliquer la définition de la "matrice d'un endomorphisme f dans une base B".
Cela consiste à mettre dans les colonnes de la matrice les coordonnées dans B des images par f des vecteurs de la base B. Là, la base canonique, c'est quoi ? C'est quoi les images de ces vecteurs ? Donc A=...

2) Tu as vu les déterminants ou pas ? Si oui, calcule det(A) et déduit en que ...
Par définition, Ker(f), c'est l'ensemble des vecteurs (x,y,z) tels que f(x,y,z)=(0,0,0) et si on résous ce système, ça donne...
Une fois qu'on a Ker(f), grâce au théorème ... on en déduit la dimension de Im(f) qui, ici est ....
Ensuite, connait une famille génératrice de Im(f), c'est f(e1), f(e2), f(e3) (vu que tout vecteur u de E s'exprime en fonction de e1,e2 et e3, c'est que f(u) s'exprime en fonction de f(e1), f(e2) et f(e3))
En enlevant les éventuel élément qui sont combinaisons linéaires des autres, on obtient une base de Im(f).

3) La matrice de f, c'est A. Celle de l'endomorphisme (x,y,z)->(x,y,z) c'est ... donc la matrice de g c'est A-3x...=...

4) Même calcul qu'au 2)

5) Utiliser le même théorème que celui indiqué au 2)

6) Pour la base, voir le 2).
Pour les équations, tu écrit qu'un vecteur doit s'écrire en fonction des éléments de la base (avec des coeffs. devant) et tu regarde ça comme un système dans lequel les inconnues sont les coeff. en question. Les conditions obtenues pour que le système ait des solution, c'est les équations de Im(f)

7) Il suffit de rajouter des vecteurs non combinaisons linéaires de ceux de la base de Im(f) (ont peut donc les prendre quasi au pif)

8) La matrice de passage de la base canonique B=(e1,e2,e3) à la base W, ça consiste à mettre en colonnes les coordonnées dans la base B des vecteurs de la base W.

9) C'est une question de cours qu'il faut absolument connaitre ou savoir retrouver en utilisant le fait que la matrice de passage de B à W permet de calculer les coordonnées d'un vecteur u dans la base B en partant des coordonnées de ce même vecteur dans la base W (elle porte mal son nom...)

10) Il on demande d'utiliser la même définition qu'au 1)

P.S. En mettant ton exo sur tout les forums, tu espère faire perdre du temps à plus de monde ?
http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/650917-application-lineaire.html
http://fsgenerationx.blogspot.fr/2014/06/application-lineaire-urgent.html

[thedarkmeteor]

Salut,

Indications :

1) Il suffit d'appliquer la définition de la "matrice d'un endomorphisme f dans une base B".
Cela consiste à mettre dans les colonnes de la matrice les coordonnées dans B des images par f des vecteurs de la base B. Là, la base canonique, c'est quoi ? C'est quoi les images de ces vecteurs ? Donc A=...

2) Tu as vu les déterminants ou pas ? Si oui, calcule det(A) et déduit en que ...
Par définition, Ker(f), c'est l'ensemble des vecteurs (x,y,z) tels que f(x,y,z)=(0,0,0) et si on résous ce système, ça donne...
Une fois qu'on a Ker(f), grâce au théorème ... on en déduit la dimension de Im(f) qui, ici est ....
Ensuite, connait une famille génératrice de Im(f), c'est f(e1), f(e2), f(e3) (vu que tout vecteur u de E s'exprime en fonction de e1,e2 et e3, c'est que f(u) s'exprime en fonction de f(e1), f(e2) et f(e3))
En enlevant les éventuel élément qui sont combinaisons linéaires des autres, on obtient une base de Im(f).

3) La matrice de f, c'est A. Celle de l'endomorphisme (x,y,z)->(x,y,z) c'est ... donc la matrice de g c'est A-3x...=...

4) Même calcul qu'au 2)

5) Utiliser le même théorème que celui indiqué au 2)

6) Pour la base, voir le 2).
Pour les équations, tu écrit qu'un vecteur doit s'écrire en fonction des éléments de la base (avec des coeffs. devant) et tu regarde ça comme un système dans lequel les inconnues sont les coeff. en question. Les conditions obtenues pour que le système ait des solution, c'est les équations de Im(f)

7) Il suffit de rajouter des vecteurs non combinaisons linéaires de ceux de la base de Im(f) (ont peut donc les prendre quasi au pif)

8) La matrice de passage de la base canonique B=(e1,e2,e3) à la base W, ça consiste à mettre en colonnes les coordonnées dans la base B des vecteurs de la base W.

9) C'est une question de cours qu'il faut absolument connaitre ou savoir retrouver en utilisant le fait que la matrice de passage de B à W permet de calculer les coordonnées d'un vecteur u dans la base B en partant des coordonnées de ce même vecteur dans la base W (elle porte mal son nom...)

10) Il on demande d'utiliser la même définition qu'au 1)

P.S. En mettant ton exo sur tout les forums, tu espère faire perdre du temps à plus de monde ?
http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/650917-application-lineaire.html
http://fsgenerationx.blogspot.fr/2014/06/application-lineaire-urgent.html

Merci 1000 fois!! je suis desole mais j'ai trop riviser et j'arrive a tout resoudre presque, mais chaque fois je plante devant cet exo, je n'arrive meme plus a dormir mdr, je vous remercie pour les indications!

[thedarkmeteor]

bah dans le cas de f, elle est bijective car kerf={(0,0,0)} et Imf=R3, non? dites moi si je me trompe