[licence] Probas

[Anonyme]

Bonjour

Une variable aléatoire X peut prendre deux valeurs, par
exemple 0 et 1. On fait N expériences consécutives et X
prend N fois la valeur 1.

Quelle est la probabilité, si on fait l'expérience une fois de
plus pour que X prenne la valeur 1 ?

La réponse est (N+1)/(N+2) mais je n'ai absolument rien
compris à la démonstration (que je n'ai pas notée). Avez-vous
une idée ?

Merci,

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Ah oui, on précise aussi que X suit une loi uniforme.

Voilà ...

[Anonyme]

Le 12/02/04 10:55 , Pierre Capdevila a exprimé son opinion en les termes
suivants:

> Ah oui, on précise aussi que X suit une loi uniforme.

Une loi uniforme sur {0,1}? Dans ce cas, c'est une Bernouilli de
paramètre 1/2, i.e. que P(X=0)=P(X=1)=1/2.

Ce que tu cherches, c'est P(X_{N+1}=1 |X_1=1,....,X_N=1), où les X_i
sont des versions de ta variable X.

Si tu les supposes indépendantes, il vient directement que ta proba
c'est 1/2 et c'est pas ce que tu veux. Si elles ne sont pas
indépendantes, il faut que tu nous donnes une relation entre X_i et
X_{i+1}. Enfin je pense hein....

Enfin, il me semble que y a un pb, non?

--
Denis

Pour me joindre, enlever les _ !

Le paradis existe, le lion et l'agneau partagent la meme couche. Mais
l'agneau ne dort pas beaucoup. C'est dérivé de W.Allen, je crois.

[Anonyme]

Denis a écrit
Une loi uniforme sur {0,1}? Dans ce cas, c'est une Bernouilli de
paramètre 1/2, i.e. que P(X=0)=P(X=1)=1/2.

Oui c'est bien uniforme sur {0,1}.

Ce que tu cherches, c'est P(X_{N+1}=1 |X_1=1,....,X_N=1), où les X_i
sont des versions de ta variable X.

Oui c'est tout à fait comme cela que c'était présenté par le prof.
Ou plutôt non, il a dit que ce que l'on cherche c'est
P(X_{N+1}=1 | X_N = 1) car on dit que l'expérience s'arrête dès que X = 0.

Puis il a dit
P(X_{N+1}=1 | X_N = 1)
= P(X_{N+1}=1 & X_N = 1) / P(X_N = 1)

C'est dire, compte tenu de la règle indiquée :
P(X_{N+1}=1 | X_N = 1) = P(X_{N+1}=1) / P(X_N = 1)

Et enfin il a dit
P(X_N = 1) = intégrale u^N (0 < u < 1)
= 1/(N+1)

De même
P(X_{N+1} = 1) = 1/(N+2)

D'où P(X_{N+1}=1 | X_N = 1) = (N+1) / (N+2)


Si tu peux m'éclairer de tes lumières ?

Merci,

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Le 13/02/04 09:49 , Pierre Capdevila a exprimé son opinion en les termes
suivants:
> Si tu peux m'éclairer de tes lumières ?

Beh, pour tout te dire, je comprends pas vraiment ce qui se passe. Mais
je peux te dire où j'ai l'impression qu'il y a de l'arnaque. Maintenant,
bien que n'étant pas mauvais en stats, je peux très bine ne pas
comprendre ce qu'on te raconte hein...

> Oui c'est bien uniforme sur {0,1}.

Alors, dans ce cas, P(X=0)=P(X=1)=1/2 et donc, c'est une variable
discrète et je vois déjà pas comment on va finir par faire une ontégrale
mais bon...

> Oui c'est tout à fait comme cela que c'était présenté par le prof.
> Ou plutôt non, il a dit que ce que l'on cherche c'est
> P(X_{N+1}=1 | X_N = 1) car on dit que l'expérience s'arrête dès que X = 0.

Alors, ce qui peut changer quelquechose, même si je vois pas comment
arriver au calcul d'intégrale, c'est qu'en fait, dans ce cas, X_i ne
sont pas des reproductions indépêndantes de ta loi X. Tu ne connais que
la loi de X_i sachant X_(i-1), qui est donc une bernouilli de paramètre
1/2...

> Puis il a dit
> P(X_{N+1}=1 | X_N = 1)
> = P(X_{N+1}=1 & X_N = 1) / P(X_N = 1)

Oui.

> C'est dire, compte tenu de la règle indiquée :
> P(X_{N+1}=1 | X_N = 1) = P(X_{N+1}=1) / P(X_N = 1)

Dans ce cas, oui. En effet, car X_n !=1 implique X_(n+1)=0, autrement
dit {X_N=1} est inclus dans {X_(n+1)=1}.

> Et enfin il a dit
> P(X_N = 1) = intégrale u^N (0 = 1/(N+1)

Alors là je comprends plus du tout.
P(X_N=1)=P(X_1=1 & X_2=1 & ... & X_N=1) mais de là à ce qu'il y est une
intégrale.... et de u^N! Même s'il s'agissait d'uniformes sur [0,1], ça
ne donnerait pas ça. Tu as d'autres infos sur les X_i (notament comment
il les définit?)

> De même
> P(X_{N+1} = 1) = 1/(N+2)
>
> D'où P(X_{N+1}=1 | X_N = 1) = (N+1) / (N+2)

Une fois qu'on a le résultat ci-dessus, je suis d'accord.

> Merci,

Je fais de mon mieux...

--
Denis

Pour me joindre, enlever les _ !

Qui s'endort médisant,
se réveille calomnié.
-Proverbe chinois

[Anonyme]

Je te remercie pour ta réponse et pour tes efforts
plus que méritoires pour comprendre mon problème,
malheureusement je ne méritais pas de tels efforts
car j'avais mal indiqué les hypothèses.

J'ai redemandé des explications au prof. Voilà le vrai
problème :
___________
Enoncé

X est une v.a. qui prend ses valeurs dans {0,1}
avec la proba P(X=1) = p où p est elle-même une
v.a. uniforme dans [0,1].

X est par exemple le résultat du lancer d'une pièce
dont la proba de tomber sur pile est p, p ayant été
préalablement tiré au hasard entre 0 et 1 avec
équiprobabilité.

On suppose qu'on a lancé la pièce N fois et qu'elle
est tombée N fois sur pile. Si on lance la pièce une
fois de plus, quelle est la proba pour qu'elle tombe
une nouvelle fois sur pile ?
___________
Solution

a) Pour tirer le réel p, supposons qu'on tire une pièce
au hasard dans une boîte contenant k pièces de probas
p_1, p_2, ..., p_k uniformément réparties entre 0 et 1.

C'est à dire p_i = i/k (1 <= i <= k)

La probabilité de l'évènement
A_N = {La pièce tombe N fois de suite sur pile} est :
P(A_N) = (1/k) * Sigma (i/k)^N (1 <= i q= k)

On reconnaît une somme de Riemann, qui se transforme
en intégrale lorsque k tend vers l'infini.

P(A_N) = intégrale x^N (0 < x < 1) = 1 / (N+1)

b) On nous demande de calculer P(A_{N+1} | A_N}

On sait que
P(A_{N+1} | A_N) = P(A_{N+1} inter A_N) / P(A_N)

Or ici
A_{N+1} inter A_N = A_{N+1}

Donc
P(A_{N+1} | A_n) = P(A_{N+1}) / P(A_n)
= (N+1) / (N+2)

Voilà. J'espère que cela t'a plu ;o)

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Le 15/02/04 15:50 , Pierre Capdevila a exprimé son opinion en les termes
suivants:
> Je te remercie pour ta réponse et pour tes efforts
> plus que méritoires pour comprendre mon problème,
> malheureusement je ne méritais pas de tels efforts
> car j'avais mal indiqué les hypothèses.

Au moins, t'as vu que c'était pas trivial et que y avait un problème!:-)

> J'ai redemandé des explications au prof. Voilà le vrai
> problème :
> ___________
> Enoncé
>
> X est une v.a. qui prend ses valeurs dans {0,1}
> avec la proba P(X=1) = p où p est elle-même une
> v.a. uniforme dans [0,1].

Ah! Je le sentais le coup de la loi conditionnelle! Bon, je
conditionnais mal, mais j'avais l'idée!

> X est par exemple le résultat du lancer d'une pièce
> dont la proba de tomber sur pile est p, p ayant été
> préalablement tiré au hasard entre 0 et 1 avec
> équiprobabilité.
>
> On suppose qu'on a lancé la pièce N fois et qu'elle
> est tombée N fois sur pile. Si on lance la pièce une
> fois de plus, quelle est la proba pour qu'elle tombe
> une nouvelle fois sur pile ?
> ___________
> Solution
>
> a) Pour tirer le réel p, supposons qu'on tire une pièce
> au hasard dans une boîte contenant k pièces de probas
> p_1, p_2, ..., p_k uniformément réparties entre 0 et 1.
>
> C'est à dire p_i = i/k (1
> La probabilité de l'évènement
> A_N = {La pièce tombe N fois de suite sur pile} est :
> P(A_N) = (1/k) * Sigma (i/k)^N (1
> On reconnaît une somme de Riemann, qui se transforme
> en intégrale lorsque k tend vers l'infini.
>
> P(A_N) = intégrale x^N (0
> b) On nous demande de calculer P(A_{N+1} | A_N}
>
> On sait que
> P(A_{N+1} | A_N) = P(A_{N+1} inter A_N) / P(A_N)
>
> Or ici
> A_{N+1} inter A_N = A_{N+1}
>
> Donc
> P(A_{N+1} | A_n) = P(A_{N+1}) / P(A_n)
> = (N+1) / (N+2)
>
> Voilà. J'espère que cela t'a plu ;o)

C'est joli. Surtout le coup de Riemann. Je pense qu'avec de la théorie
sur les lois conditionnelles doit pas y avoir besoin de ça, mais alors
là, je sais pas trop quoi appliquer. Je pense que ça doit nécessiter une
autre modélisation. M'enfin, comme ça, ça marche et c'est joli.

Juste par curiosité, c'est quoi comme cours de licence? Proba1, proba 2
et/ou avancé, stats....

--
Denis

Pour me joindre, enlever les _ !

Nous pensions que le monde était neuf parce que nous étions neufs dans
le monde.
-Paul Nizan

[Anonyme]

Denis a écrit

Juste par curiosité, c'est quoi comme cours de
licence? Proba1, proba 2 et/ou avancé, stats....

C'est un cours de stats de Jussieu, module de
Licence en cours du soir (prof Omer Adelman)

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Le 15/02/04 17:06 , Pierre Capdevila a exprimé son opinion en les termes
suivants:
> C'est un cours de stats de Jussieu, module de
> Licence en cours du soir (prof Omer Adelman)

d'accord. Parce qu'en mon temps j'ai suivi le cours de stat de Jussieu
(PVII) et on n'a jamais fait ça...

--
Denis

Pour me joindre, enlever les _ !

Les statistiques c'est comme les dessous féminins, ça montre beaucoupde
chose mais cela cache l'essentiel. Pal Erdös