J'ai un DM à faire sur les probabilités, et le niveau de difficulté ne cesse d'augmenter, ce qui fait que je suis sûr de mes premières réponses, mais je n'arrive pas à traiter la fin...
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L'énoncé:
Il y a 100 joueurs numérotés de 1 à 100 et 100 boites également numérotées. Tous les nombres de 1 à 100 ont été répartis aléatoirement dans les boites (un nombre par boite). Chacun à leur tour, les joueurs auront le droit d'ouvrir 50 boites. Ils n'auront ensuite aucun moyen de communiquer avec les autres joueurs. Le but est que chaque joueur retrouve son propre numéro dans l'une des boites qu'il a ouverte. Si un joueur échoue, ils ont tous perdu. Notre objectif est de déterminer une stratégie pour le choix des boites qui optimise leurs chance de gagner.
Première partie: on choisit aléatoirement es boites
chaque joueur choisit aléatoirement les 50 boites qu'il va ouvrir.
a) Quelle est la probabilité pour un joueur de retrouver son numéro ?
b) Quelle est la proba que les joueurs gagnent ?
Deuxième partie: Permutations et cycles
Soit n >= 1 un entier. On appelle permutation toute bijection sigma de l'ensemble {1,...,n} dans lui-même. On les note sous la forme:
1 2 ... n-1 n
sig(1) sig(2) ... sig(n-1) sig(n)
(sig c'est la lettre sigma)
Pour n= 100 une telle permutation permet de représenter la répartition des numéros dans les boites. On appelle cycle de taille k une bijection sigma de la forme
a1 --> a2 --> a3 --> ... --> ak --> a1
ou les a sont des nombres distincts. Par exemple la permutation:
1 2 3 4 5
3 2 4 1 5
est le cycle 1 --> 3 --> 4 --> 1 de longueur 3
Dans tout l'exercice n sera égale à 100 et on ne considèrera que les permutations de {1,...,100}
a) Quel est le nombre total de permutations possibles ?
b) Soient a 1,...,ak des nombres distincts. Combien y a t-il de cycles de longueur k contenant tous ces nombres ai ?
c) Soit k >= 51. Montrer que le nombre de permutations contenant un cycle de longueur k est
Troisième partie: nouvelle stratégie
On note sigma la permutation associée à la répartition des nombres dans les boites. Chaque joueur va parcourir le cycle de la permutation sigma qui démarre à la boite correspondant à son numéro. Par exemple le joueur 5 va commence par ouvrir la boite 5. Si celle-ci contient le numéro 34, il va ensuite ouvrir la boite 34... Il continue jusqua ce qu'il ait trouvé son numéro 5 ou qu'il ait ouvert 50 boites.
a) Soit p= 51"...
Troisième partie:
a)Là je ne comprends absolument pas la question, donc dur de commencer à raisonner...
b)Je ne comprends pas, mais je pense qu'elle doit dépendre de la question prédédente.
c)Ça, ça va être assez simple
Donc en résumé, j'ai besoin d'aide sur la dernière question de la 2e partie, et sur la totalité de la 3e partie...
J'espère que la longueur de l'énoncé de vous a pas découragé
Pouvez-vous m'aider svp?
Merci!
