Probabilité qu'un entier ne soit le multiple d'aucun carré

[professeur plutonium]

Salut salut !

Après m'être rendu compte que l'un de mes divers mot de passe était un multiple de 256 je me suis posé une petite question :

fixons un entier k>1

Prenons un entier naturel n choisi au hasard, on peut écrire où p_i est le i-ème nombre premier (ainsi p_1=2 et p_2=3) et les alpha_i sont des entiers presque tous nuls. Quelle est la probabilité que tous les alpha_i soient strictement inférieurs à k ?

Pour éviter toute confusion voila ce que je veux dire quand je dis "choisi au hasard". On appelle P(N) la probabilité qu'un tel événement (tous les aplha_i sont inférieurs à k-1) se produise lorsque l'on choisi de façon équiprobable l'entier n entre 1 et N. La limite (si elle existe) de P(N) est la probabilité dont je veux parler.

Pour k=2 j'ai eu une idée :
Soit N un entier >1
il y a (a un près) ln(N) nombres premiers inférieurs à N. Pour construire un nombre inférieur à N qui n'est multiple d'aucun carré on peut procédé comme ceci : pour chaque nombre premier inférieur à N on décide ou non de l'ajouter (une seule fois) dans le produit de notre nombre en s'assurant de plus que le produit total ne dépasse pas N. Ainsi les nombres inférieurs à N qui ne sont multiples d'aucun carré sont en plus petit nombre que 2^ln(N). Puisque la proportion de nombre qui n'est multiple d'aucun carré est 0.

Bon, sur le papier je me suis amusé à coller des partout où il fallait pour rendre le truc rigoureux et ça marche bien. Je m'en suis passé ici pour alléger la rédaction. Par contre cette méthode ne marche pas lorsqu'on prend k>2, en effet [3^ln(N)]/N diverge...

Est-ce que quelqu'un aurait une idée là dessus ? Je me suis lancé dans quelque calculs horribles mais je suis arrivé à une probabilité non nulle même pour k=2... Après je ne sais pas si il serait possible de calculer cette probabilité sur l'ensemble des produits de p_i^j avec i<N et j<N puis de faire tendre N vers l'infini ? J'ai l'intuition qu'on obtiendrait une autre probabilité mais mes cours de proba était vraiment pas top jusqu'à présent :marteau:

[ffpower]

il y a (a un près) ln(N) nombres premiers inférieurs à N.

Il y a N/ln(N) nombres premiers, pas N..

Sinon, pour ta question, en version heuristique je dirais:
Porba(n n'ait pas de facteur carré)=Proba(pour tout p premier, p² ne divise pas n)
=produit_{p premier} Proba(p² divise pas n)
=produit_{p premier} (1-1/p²)
=6/pi²

[professeur plutonium]

hum effectivement ça explique pourquoi je trouve des résultats différents... Je sais pas ou j'avais la tête, ln(N) c'est même pas crédible ._.

En tout cas avec les calculs pas beaux je trouve comme probabilité. Ce qui colle avec ce que tu dis.



Est ce qu'on a l'égalité pour tout entier k>2 ?

[ffpower]

tu veux dire? Oui c'est le cas, c'est la formule d'Euler: ça se montre en écrivant

,
en développant le produit et en utilisant l'existance et unicité de la décompositionen facteurs premiers pour récupérer