Proba, Fonction génératrice, Exo Puce

[Invaders]

Bonjour,

Voici l'énoncé du problème :

une puce se déplace sur un triangle composé des sommets A,B,C et de son barycentre O. La puce part du point O pour ensuite rejoindre un autre point et ainsi de suite ..
"Pour n N*, on note la probabilité que la puce fasse n sauts sans repasser par O ( on a vu que = ) et la probabilité qu'elle revienne en O pour la première fois au n-ème saut. Quelle est la valeur de ?
La puce saute maintenant indéfiniment. On admet que l'on peut modéliser cette expérience par la donnée d'un espace ( ,P). On note T le temps mis par la puce pour revenir en O, en posant T = si elle n'y revient jamais. Quelle est la loi de T ? Quel est en moyenne le temps mis par la puce pour revenir en O ? ( On pourra utiliser la fonction génératrice de T )."

Pour la valeur de pn, je pensais utiliser la loi du 1er succès. On aurait donc :
= ( 1 - )* ?

La loi de T est donnée par P[{T=}] ?

Et pour la dernière je ne vois pas, malgré l'indice ..

Merci pour vos réponses !

[Doraki]

Pour la valeur de pn, je pensais utiliser la loi du 1er succès. On aurait donc :
= ( 1 - )* ?

Je crois que tu t'embrouilles :
pour tout n, qn = la probabilité de faire n sauts sans passer par O
pour tout n, pn = la probabilité de revenir en O pour la première fois au n-ième saut.

La loi de T est donnée par P[{T=;)}] ?

T c'est une variable aléatoire dans Nu{;)}, et un élément de Nu{;)} ça ne peut pas être égal à un espace probabilisé.
La loi de T c'est la donnée de toutes les probabilités P(T=0), P(T=1), P(T=2), P(T=3), ..., P(T=;)).

[Invaders]

Merci pour votre réponse

pour la premiere question, = est correct ?

Pour la loi de T, on a P(T=0)=P(T=1)=0 et P(T=2) = .. ETC .. Et pour P(T=)~0 ?

Concernant la dernière question, n'ayant pas vu la fonction génératrice en TD, j'ai du mal à voir comment l'appliquer ici.

Merci par avance.

[Doraki]

Merci pour votre réponse

pour la premiere question, = est correct ?

Pour la loi de T, on a P(T=0)=P(T=1)=0 et P(T=2) = .. ETC .. Et pour P(T=)~0 ?

Concernant la dernière question, n'ayant pas vu la fonction génératrice en TD, j'ai du mal à voir comment l'appliquer ici.

Merci par avance.

ouais c'est bon. Tu peux justifier pourquoi P(T=;)) = 0 ?

Pour calculer l'espérance de T (la somme pour k=2 à l'infini de k*P(T=k)),
on te suggère de regarder la fonction F(X) = P(T=0) + P(T=1)*X + P(T=2)*X² + P(T=3)*X^3 ... et de voir si tu peux pas en trouver une expression simplifiée.
Ensuite, l'espérance de T est juste la valeur de F'(1)

[Invaders]

D'accord,

P(T=)~0 car on a = =
Donc Lim(n->) = 0 car Lim(n->) = 0 ( ce que nous avons déjà vu dans l'ancien problème de la puce )

En regardant la fonction F(X), on remarque que l'on a une suite géométrique de raison et de premier terme .
On note la raison R =
On a donc la somme Sn = *

Jusque là, est-ce bon?

[Invaders]

Personne pour m'aidez svp ? :help:

[Doraki]

Les événements T>n, de probabilité qn, est une suite décroissante d'événements, et leur intersection est l'événement T=;), ce qui veut dire que oui, P(T=;)) = limite de qn = 0.
Aussi, tu peux dire que P(T=0) + P(T=1) + ... + P(T=;)) doit valoir 1 et calculer P(T=;)) comme ça

Pour la suite ça m'a l'air correct, et donc pour F(X), (la somme pour n dans N), tu obtiens quoi pour |X|<3/2 ?

[Invaders]

Merci pour votre reponse.
Pour F(X)<3/2, je ne vois pas comment demarrer.... :peur: :peur:
merci par avance !

[Doraki]

c'est pas F(x) qui est plus petit que 3/2, c'est |X|. Pour que la série puisse converger et pour que tu puisses calculer f(X)

[Invaders]

Oui pardon |x|<3/2 ^^, et donc je ne vois pas comment commencer le calcul de F(x) pour |x|<3/2
Merci pour votre aide :)

[Doraki]

ben tu as déjà calculé somme pour k=0 à n de P(t=k) X^k non ?
ton Sn(X) c'est bien ça ?

Eh bien il faut regarder la limite de cette somme quand n tend vers l'infini

[Invaders]

ben tu as déjà calculé somme pour k=0 à n de P(t=k) X^k non ?
ton Sn(X) c'est bien ça ?

Oui, normalement, sauf erreur de calcul c'est mon Sn(X)

Justement, juste pour être sûr, le X de Sn(X) correspond au temps?

[Doraki]

non, il ne correspond à rien.
C'est juste une construction abstraite pour aider le calcul de l'espérance.

[Invaders]

D'accord.

La limite quand n tend vers l'infini serait donc :

=

Mais je ne vois pas où cela nous mène :peur:

[Doraki]

bah maintenant, on dit que l'espérance de T, c'est la somme des k*P(T=k) = F'(1).

Si t'as jamais utilisé de fonctions génératrices avant, c'est sûr que ça semble complètement parachuté come ça, mais ça marche.

[Invaders]

Ayant eu un cours aujourd'hui je comprends mieux :)

J'ai ainsi pu finir cet exercice :


F'(1) = 4

Car somme des k*P(T=k) = (1/2) * somme (k*(2/3)^(k-1)) = (1/2) * [ (somme (de 2 à l'inf) (k*(2/3)^(k-1)) ) - 1 ] = 4

Et (somme (de 2 à l'inf) (k*(2/3)^(k-1)) = (1/(1-(2/3))²)

Merci pour votre aide tout au long de cet exercice! :king2: