Primitive

[Hannaut]

Bonsoir

Une fonction peut elle admettre des primitives sur un intervalle I de R sans être continue sur I ?

[Ericovitchi]

Oui, l'intégrale c'est l'aire sous la courbe donc une fonction peut être discontinue (par morceaux par exemple, parce que si elle est trop exotique ça peut poser problème) et avoir des primitives (qui seront continues d'ailleurs).

[Ben314]

Je n'aurais pas répondu la même chose qu'Ericovitchi, mais tout dépend de la définition que l'on prend du mot "primitive".
Pour moi, F est une primitive de f sur I (intervalle ouvert de R)
ça veut dire (par définition) que F est dérivable sur I et F'=f
Et il me semble que c'est la définition la plus communément admise (peut-être que c'est là que je me gourre...)

Dans ce cas, si on prend une fonction f:R->R qui a juste une "bête discontinuité" (avec limite à droite et à gauche) en xo et que l'on pose , la fonction F ne sera pas une primitive de f (because elle sera pas dérivable en xo).

Sinon, avec la définition que je prend, la question de Hannaut se ramène trés exactement à :
"Existe t'il des fonctions dérivables dont la dérivée ,n'est pas continue"
La réponse est (archi) classique : la dérivée d'une fonction dérivable, bien que vérifiant systématiquement le th. des valeurs intermédiaires, n'est pas forcément continue.
L'exemple "standard" est pour et

P.S. : vive les complexe où dérivable => de classe

[Ericovitchi]

ha oui d'accord Ben, je n'avais pas vu que F n'est pas dérivable en x0. En fait l'intégrale existe mais pas la primitive ?

[Hannaut]

Je n'aurais pas répondu la même chose qu'Ericovitchi, mais tout dépend de la définition que l'on prend du mot "primitive".
Pour moi, F est une primitive de f sur I (intervalle ouvert de R)
ça veut dire (par définition) que F est dérivable sur I et F'=f
Et il me semble que c'est la définition la plus communément admise (peut-être que c'est là que je me gourre...)

Dans ce cas, si on prend une fonction f:R->R qui a juste une "bête discontinuité" (avec limite à droite et à gauche) en xo et que l'on pose , la fonction F ne sera pas une primitive de f (because elle sera pas dérivable en xo).

Sinon, avec la définition que je prend, la question de Hannaut se ramène trés exactement à :
"Existe t'il des fonctions dérivables dont la dérivée ,n'est pas continue"
La réponse est (archi) classique : la dérivée d'une fonction dérivable, bien que vérifiant systématiquement le th. des valeurs intermédiaires, n'est pas forcément continue.
L'exemple "standard" est pour et

P.S. : vive les complexe où dérivable => de classe

Merci Ben et Ericovitchi :we: