Primitive

[fibonacci]

Bonjour;








Wolfram donne


si l'on dérive on retombe bien sur la primitive de départ

de même si l'on dérive




on retombe aussi sur la primitive de départ

et dans l'intervalle o,1 on a:



mais pour

on ne retrouve pas ces valeurs?

quelle est la bonne forme de la primitive de départ?

[Black Jack]

Bonjour;








Wolfram donne


si l'on dérive on retombe bien sur la primitive de départ

de même si l'on dérive




on retombe aussi sur la primitive de départ

et dans l'intervalle o,1 on a:



mais pour

on ne retrouve pas ces valeurs?
quelle est la bonne forme de la primitive de départ?

En es-tu bien sûr ?

[arctan(x/(1-x²))](de 0 à 1) = arctan(1/0+) - arctan(0) = Pi/2 - 0 = Pi/2

Quant à la "bonne" primitive, si je dois choisir entre une expression avec arctan d'une quantité réelle et une avec des imaginaires et des logarithmes de complexes ... je choisirai plutôt celle avec le arctan(réel)

:zen:

[Black Jack]

Pour arriver à la primitive proposée par Wolfram, on peut faire ainsi :

(1+x²)/(1-x²+x^4) = (1+x²)/[(x² + 1 - V3.x).(x² + 1 + V3.x)]

= (1/2)/(x² + 1 - V3.x) + (1/2)/(x² + 1 + V3.x)

S (1+x²)/(1-x²+x^4) dx = (1/2). S dx/(x² + 1 - V3.x) + (1/2). S dx/(x² + 1 + V3.x)
*****
S dx/(x² + 1 - V3.x) = -2arctg(V3 - 2x)

S dx/(x² + 1 + V3.x) = 2arctg(V3 + 2x)
*****
S (1+x²)/(1-x²+x^4) dx = arctg(V3 + 2x) - arctg(V3 - 2x) (1)

*****
tan(a-b) = (tg(a) - tg(b))/(1 + tg(a).tg(b))

tan[arctg(V3 + 2x) - arctg(V3 - 2x)] = ((V3 + 2x) - (V3 - 2x))/(1 + (V3 + 2x)(V3 - 2x))

tan[arctg(V3 + 2x) - arctg(V3 - 2x)] = 4x/(1 + (3 - 4x²)) = 4x/(4(1 - x²)) = x/(1-x²)

[arctg(V3 + 2x) - arctg(V3 - 2x)] = arctan[x/(1-x²)]

Dans (1) --->

S (1+x²)/(1-x²+x^4) dx = arctan[x/(1-x²)]

:zen:

[fibonacci]

Ok merci et heureusement qu'il en est ainsi

Quant à la "bonne" primitive, si je dois choisir entre une expression avec arctan d'une quantité réelle et une avec des imaginaires et des logarithmes de complexes ... je choisirai plutôt celle avec le arctan(réel)

c'est le choix que j'aurais fait, par contre, l'égalité des deux expressions n'est pas évidente.

[Black Jack]

Ok merci et heureusement qu'il en est ainsi




c'est le choix que j'aurais fait, par contre, l'égalité des deux expressions n'est pas évidente.

Je n'y ai pas réfléchi ...

Cependant, des primitives d'une même fonction ne doivent pas être égales.
Elles doivent être égales à une constante près ... ce qui n'est pas du tout pareil.

Par exemple, supposons qu'une primitive d'une fonction f(x), soit F1(x) = tg²(x), et bien F2(x) = 1/cos²(x) est aussi une primitive de f(x). Et on n'a évidemment pas tg²(x) = 1/cos²(x)
... Mais on a bien F1'(x) = F2'(x)

F1(x) et F2(x) sont égaux à une constante près, on a : F2(x) = F1(x) + 1

Ici, c'est assez facile à montrer, mais ce n'est pas toujours aussi facile.

:zen:

[fibonacci]

Je n'y ai pas réfléchi ...

Cependant, des primitives d'une même fonction ne doivent pas être égales.
Elles doivent être égales à une constante près ... ce qui n'est pas du tout pareil.

Par exemple, supposons qu'une primitive d'une fonction f(x), soit F1(x) = tg²(x), et bien F2(x) = 1/cos²(x) est aussi une primitive de f(x). Et on n'a évidemment pas tg²(x) = 1/cos²(x)
... Mais on a bien F1'(x) = F2'(x)

F1(x) et F2(x) sont égaux à une constante près, on a : F2(x) = F1(x) + 1

Ici, c'est assez facile à montrer, mais ce n'est pas toujours aussi facile.

:zen:

je n'y avais pas penser, et pourtant c'est classique.

sur Wikipédia il donne



avec la démo, à partir de là les expressions sont équivalente, à une constante près

de fait avec Wolfram lorsqu'on demande les étapes intermédiaires c'est l'usine à gaz, dans le résultat final ils trouvent des et des ce que l'on doit retrouver avec

:zen:

[Black Jack]

je n'y avais pas penser, et pourtant c'est classique.

sur Wikipédia il donne



avec la démo, à partir de là les expressions sont équivalente, à une constante près

de fait avec Wolfram lorsqu'on demande les étapes intermédiaires c'est l'usine à gaz, dans le résultat final ils trouvent des et des ce que l'on doit retrouver avec

:zen:

Attention quand même avec les log de complexes ...

voir ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme_complexe

voir particulièrement le chapitre : "Le logarithme complexe est-il une fonction ?"

:zen: