Primitive de f et f²

[Nightmare]

Salut à vous !

Connaissez-vous une fonction f admettant des primitives et telle que f² n'en admette aucune?

Bonne recherche
:happy3:

[Ben314]

J'ai rien vérifié, mais je prendrais bien pour f la dérivée de

[Nightmare]

Ce n'est pas celle que j'ai, mais je veux bien une explication pour montrer que f² n'admet pas de primitives !

[Ericovitchi]

ça doit être vraiment dur à trouver une fonction comme ça !
Car si on raisonne en terme d'aire sous la courbe, on peut passer de f à f² en prenant le carré de l'ordonnée donc intuitivement si la fonction donnant l'aire sous f est définie, on peut penser qu'elle l'est aussi sous f².
Donc il faudrait qu'en passant de f à f² ça maltraite tellement la fonction f que l'aire ne soit plus définie donc un truc dense genre sin (1/x) ou genre fractal. Mais difficile de trouver ça pour f² et qui rende f acceptable.
ou alors une fonction f² tordue genre "sur les rationnels elle vaut 0.5 et sur les réels 1" mais il faudrait trouver un truc pour que quand on passe à f elle devienne intégrable.

Donc je ne vois vraiment pas pour le moment.

[Nightmare]

Le problème majeur est qu'il n'est pas "facile" de démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives, la fonction que j'ai trouvée fait apparaitre une "astuce" qui permet de montrer que son carré n'est pas primitivable, maintenant je me sentirai incapable de le faire sans le genre d'astuce que j'ai trouvée.

[Ben314]

J'ai pas fait les calculs (s'ils sont fasables...) mais est dérivable, y compris en 0 donc f=F' admet une primitive.
Par contre, au vois. de 0, f n'arrète pas d'osciller et les oscillations ont une amplitude de plus en plus grande.
Bien évidement, f est intégrable au vois. de 0 (mais pas en valeur absolue), donc je conjecture que f² ne l'est pas...

[Nightmare]

Je vous donne en blanké celle que j'ai, ceux qui ont la flemme d'en chercher une peuvent se contenter de montrer que celle-ci marche.

Solution : f(x)=cos(1/x), f(0)=0

[Nightmare]

En fait, c'est assez clair que si la mienne convient, la tienne aussi Ben ...

[Ericovitchi]

Personnellement je ne vois pas bien ce qui pourrait différencier cos(1/x) de cos²(1/x). Ou bien aucune des deux ne l'est ou bien les deux.
surtout que cos²(1/x) = (1+cos (2/x))/2

[Nightmare]

surtout que cos²(1/x) = (1+cos (2/x))/2

Mon argument était justement de dire que si f²(x)=cos²(1/x) avec f²(0)=0 était primitivable, la fonction g(x)=cos(2/x)-2cos²(1/x)+1 avec g(0)=1 le serait aussi...

[Le_chat]

Je ne vois pas de primitives de cos(1/x) ...

[JeanJ]

Bonjour,

tiens, c'est curieux ! Pourquoi dites-vous que sin(1/x) n'a pas de primitive ?
Elle en a bien sûr. C'est :
x*sin(1/x) -Ci(1/x)+constante.
Ci étant la fonction spéciale "cosinus intégral".
Evidemment, x=0 est un point singulier. Mais c'est tout aussi vrai pour la fonction 1/x dont les primitives sont ln(x)+constante. Ce n'est pas parce qu'il y a un ou des points singuliers qu'une fonction n'aurait pas de primitive.
Et c'est pareil pour les autres fonctions citées en exemples dans les messages précédents (dont les primitives existent, mais ne s'expriment pas avec les fonctions élémentaires : elles pouraient théoriquement s'exprimer avec des séries infinies, ou éventuellement avec des fonctions spéciales).
Mais peut-être votre question comporte-t-elle des conditions implicites qui ne sont pas clairement formulées ?

[Ben314]

Pour "simplifier", partons de (a,b>0)
Si a>1 elle est dérivable en 0 donc f=F' admet une primitive.
Pour x non nul, donc

Il n'y a plus qu'à prendre a et b tels que a>1 ; 2a-b-1>0 et 2a-2b-2<-1 pour que les deux premier termes de la somme soient intégrable en 0 (car continus) mais pas le troisième.

[Nightmare]

Je ne vois pas de primitives de cos(1/x) ...

Ce n'est pas parce qu'on ne les "voit" pas qu'elles ne sont pas là !

Il est question ici de ne pas admettre de primitives du tout, et non pas seulement ne pas en admettre d'usuelle !

[Nightmare]

Pour "simplifier", partons de (a,b>0)
Si a>1 elle est dérivable en 0 donc f=F' admet une primitive.
Pour x non nul, donc

Il n'y a plus qu'à prendre a et b tels que a>1 ; 2a-b-1>0 et 2a-2b-2<-1 pour que les deux premier termes de la somme soient intégrable en 0 (car continus) mais pas le troisième.

Ca me va et rejoint donc mon idée !

[Ben314]

Evidemment, x=0 est un point singulier. Mais c'est tout aussi vrai pour la fonction 1/x dont les primitives sont ln(x)+constante. Ce n'est pas parce qu'il y a un ou des points singuliers qu'une fonction n'aurait pas de primitive.

Juste une petite question, quelle valeur a la primitive de 1/x, en..., mettons par exemple x=0 ?

[JeanJ]

Je ne vois pas de primitives de cos(1/x)

Les primitives de cos(1/x) sont :
x*cos(1/x)+Si(1/x)
Si étant la fonction spéciale "sinus intégral".

[JeanJ]

Je ne comprends pas pourquoi vous faites une fixation sur x=0.
Tout le monde sait que les primitives de 1/x sont ln(x)+constante et que pour x=0 le logarithme est infini.
Il n'empêche que,si la question posée est "la fonction 1/x a-t-elle des primitives", la réponse est "oui, elle en a : c'est ln(x)+constante".
Qu'est-ce que c'est que cette histoire de regarder x=0 comme un épouvantail ? il n'y a strictement rien de surprenant à cela.

[Ben314]

Je ne comprends pas pourquoi vous faites une fixation sur x=0.
Tout le monde sait que les primitives de 1/x sont ln(x)+constante et que pour x=0 le logarithme est infini.
Il n'empêche que,si la question posée est "la fonction 1/x a-t-elle des primitives", la réponse est "oui, elle en a : c'est ln(x)+constante".
Qu'est-ce que c'est que cette histoire de regarder x=0 comme un épouvantail ? il n'y a strictement rien de surprenant à cela.

Ce n'est pas une fixation sur 0, c'est simplement qu'ici, on ne parle que de fonctions definies sur R (partout définies) à valeur dans R (i.e ne valant pas +oo !).
Il me semble que 1/x et ln(x) ne font pas complètement parti de cette catégorie...

[Nightmare]

Il n'empêche que,si la question posée est "la fonction 1/x a-t-elle des primitives", la réponse est "oui, elle en a : c'est ln(x)+constante".

Bof, déjà je ne comprends pas comment on peut parler de primitive d'une fonction qui n'est pas définie sur un domaine connexe sans justement parler de ce domaine ou au moins les distinguer sur les composantes connexes...