Primitive de f et f²

par **Ben314** » 08 Mar 2010, 19:13

Par contre, pour la fonction f(x)=cos²(1/x), je ne vois pas trop quel argument tu emploie pour montrer qu'elle n'a pas de primitive.
Pour x<0, la fonction F(x)=intégrale de -1 à x de f(t) dt est croissante et majorée sur ]-1,0[ donc admet une limite en 0.
Je ne vois pas bien quel argument tu emploie pour montrer que F n'est pas dérivable en 0...

par **Nightmare** » 08 Mar 2010, 19:15

Ma fonction g donnée par g(x)=cos(2/x)-2cos²(1/x)+1 avec g(0)=1 est à valeur dans {0;1} et vérifierait le théorème des valeurs intermédiaires si elle était primitivable, par le théorème de Darboux, cela me semble compliqué !

Edit : T'as de la chance, je t'ai pas quoté...

par **Ben314** » 08 Mar 2010, 19:19

Nightmare a écrit:Edit : T'as de la chance, je t'ai pas quoté...

Tout à fait thierry, tout à fait.... :zen:
De plus, je n'avais pas écrit de conneries (pour une fois), j'avais simplement pas compris.... :triste:

J'avais pas fait gaffe que ton argument pour le "non primitivabilisation" était bien plus "subtil" que le mien (et de nature assez différent)

par **Nightmare** » 08 Mar 2010, 19:23

je dirais plutôt, quitte à néologer, "non primitivabililité" !

par **JeanJ** » 08 Mar 2010, 19:29

Bonjour Nightmare,

Ta question initiale était :

Connaissez-vous une fonction f admettant des primitives et telle que f² n'en admette aucune?

Il n'est fait aucune mention sur un quelconque domaine d'intégration. C'est la raison pour laquelle je répond de cette façon.
Si on me pose la question :
"La fonction 1/x² admet-elle des primitives" , sans mentionner des conditions concernant un domaine d'intégration, je réponds de façon la plus générale :
"Oui, cette fonction a des primitives et ces primitives sont (-1/x) +constante"
Ensuite, si on veut en rajouter, bien sûr, on le peut.

par **JeanJ** » 09 Mar 2010, 00:35

Je suis déçu que mon post précédent n'ait pas suscité de réaction dans la lignée des précédentes !
Réactions auxquelles il faut s'attendre, ce qui est compréhensible.
Aussi, je voudrais citer Ben 314 :

Juste une petite question, quelle valeur a la primitive de 1/x, en..., mettons par exemple x=0 ?

Cette petite question ne viserait-elle pas - sans le dire carrément - à vouloir faire dire ceci : "la fonction 1/x n'est pas pimitivisable" ?

On pourait tout aussi bien poser cette autre petite question :
" Quelle valeur a une primitive de 1/sqrt(x), en..., mettons par exemple x=0 ? "
Ceci visant à vouloir faire dire que 1/sqrt(x) est primivisable.
Inutile de préciser que les primitives de 1/sqrt(x) sont 2*sqrt(x)+constante qui sont donc bien définies pour x=0.
Eurêka ! On a une fonction primitivisable f = 1/sqrt(x) et dont le carré, c'est à dire f² = 1/x est non primitivisable (selon Ben314 , si j'ai bien compris)... dans le contexte de ce qui précède et qui n'est pas le mien, chacun l'aura bien vu.
Cela m'étonnerait beaucoup que Nightmare se satisfasse de ces fonctions comme réponse à sa question initiale :

Connaissez-vous une fonction f admettant des primitives et telle que f² n'en admette aucune?

par **Ben314** » 09 Mar 2010, 00:38

Le tout petit problème, c'est que je veux bien que la primitive de 1/sqrt(x) soit définie en 0, mais, toujours précisément en 0, c'est la primitive de QUI (pas de 1/sqrt(x) puisque lui n'est pas défini en 0 !!!)

Je te rapelle juste un "détail" : F est une primitive de f sur un intervalle I lorsque F est dérivable sur I et que F'=f sur I.
Qui est I dans le cas ou F=sqrt(x) ?

par **ffpower** » 09 Mar 2010, 00:39

Du coup je pose la question. Existe t-il une fonction primitivabilisable sur R tel que son carré n'est primitivabilisable sur aucun intervalle? :zen:

par **Ben314** » 09 Mar 2010, 00:46

ffpower a écrit:Du coup je pose la question. Existe t-il une fonction primitivabilisable sur R tel que son carré n'est primitivabilisable sur aucun intervalle? :zen:

J'aurais tendance à partir de ce qu'on a (une qui déconne en un point) et à faire une construction type fonction "singulière" de Lebesgue, mais je suis pas du tout certain que ça marche...

Avant de me lançer dans un truc de "mal de crâne", la question qui tue : "tu as connait la réponse ?"

par **ffpower** » 09 Mar 2010, 00:48

Non, du tout lol, et j'ai pas envie de chercher :ptdr:

par **ffpower** » 09 Mar 2010, 00:50

par contre je peux t en faire une nulle part primitivable dot le carré l'est :langue2:

par **Ben314** » 09 Mar 2010, 00:57

ffpower a écrit:par contre je peux t en faire une nulle part primitivable dot le carré l'est :langue2:

Oui, ça moi aussi, je peut...
(et l'autre question, je laisse tomber, ça me parrait un peu ch....)

Primitive de f et f²

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