Preuve du théorème de Darboux (Analyse réelle)

[Hig]

Bonjour,

Je m’intéressais à diverses preuves du théorème de Darboux dont l'énoncé est assez simple, lorsque je suis tombé sur celles-ci, et notamment la "seconde méthode": http://math.univ-lyon1.fr/homes-www/gelineau/devagreg/Theoreme_Darboux.pdf. (Le théorème est rappelé en lien)

Elle me parait assez ingénieuse, malheureusement je ne comprend pas la seconde inclusion: en effet, j'ai l'impression que f'(I) est non seulement inclus mais surtout égale à l'adhérence de Phi(T) ! Bien sur, ce ne doit pas être le cas, sinon la preuve serait différente...

In fine je recherche un élément de l'adhérence de Phi(T) qui ne soit pas dans f'(I) ! (ou peut-être y'a-t-il un moyen encore plus simple/pédagogique de me montrer que ces deux intervalles ne sont pas les mêmes) Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

En vous remerciant d'avance de vos réponses, Hig.

[Mimosa]

Je ne vois pas trop ce qui te gêne. On montre que est coincé entre un intervalle et son adhérence. Il est donc forcément égal à l'intervalle, avec en plus éventuellement une ou les deux extrémités de cet intervalle.


Si on prend sur , on a




d'où mais .


(Modification d'une faute de frappe)

[Ben314]

Salut,
Déjà, si l'intervalle I de départ n'est pas fermé, il est fort possible que f'(I) ne soit pas fermé non plus, par exemple si f(x)=x² et I=]0,1[ alors f'(I)=]0,2[ qui ne risque pas d'être égal à l'adhérence de quoi que ce soit.

Ensuite, même si I est un intervalle fermé, voire même un intervalle fermé borné, il n'est pas certain que f'(I) le soit aussi (alors que ce serait forcément le cas si f' était continue) :
Prend .
1) Vérifie que se prolonge par continuité en 0 puis que la fonction, une fois prolongée, est dérivable sur R (donc y compris en 0) mais que la dérivée n'est pas continue en 0.
2) Détermine où est fermé borné.

[Hig]

Tout d'abord, merci pour ta réponse Mimosa. Elle m'a éclairée sur mon problème. Néanmoins je ne comprends pas ton exemple, à moins qu'il s'agisse d'une faute de frappe et que tu parles de l'intervalle ouvert en 0.

Ensuite, je suis nouveau sur ce forum et ne connait pas vraiment les usages, mais je vais me permettre une petite digression que ta réponse m'a inspirée. Je crois que le monde scientifique, et notamment le monde mathématique souffre d'un isolement dû pour une part à l'amas de connaissance théorique qui nous sépare des autres, et pour une autre part, d'une jalousie entretenu par ce curieux phénomène culturel qui place les mathématiques (ou la mathématique?) comme échelle de classement de l'intelligence. J'aime pourtant beaucoup cette discipline et déplore qu'elle soit réduite à cela. Je crois qu'il est un devoir aux mathématiciens (surtout ceux de talent !) d'avoir une main tendue vers le reste du monde, quand bien même ce serait simplement pour leur propre survie et reconnaissance. J'ai lu qu'il s'agissait d'un forum d'entraide, et je ne crois pas que tu sois ici pour le "show off".

D'où ma surprise à la lecture de ta première phrase: "Je ne vois pas trop ce qui te gêne". C'est sans doute inconscient, mais il s'agit typiquement du genre de phrases qui ne font avancer personne, et me donne envie de m'éloigner du milieu. C'est une phrase à la fois pédante (tu dénigres mon problème, qui n'est pas un problème selon toi) et narcissique (tu la ramènes à toi, "je ne vois..."). Bien sûr je juge ici ta réponse et non ta personne, j'espère que tu auras l'esprit suffisant pour comprendre cela et ne pas mal interpréter mon monologue silencieux, qui a pour but de te faire réfléchir sur la manière dont tu t'adresses à quelqu'un qui te demande de l'aide et que tu ne connais ni d'Adam ni d’Ève. Par ailleurs, j'aurais peut-être mieux encaissé ta phrase si elle avait été ponctuée d'un peu de politesse (bonjour, bonne journée ?)... Mais comme je le disais précédemment je ne connais pas les usages de ce forum.

Enfin j'aimerais que tu crois dans dans la sincérité de ma réponse qui n'est pas faite pour t'accabler mais pour tenter d'apporter un peu plus de bienveillance à ce milieu trop compétitif à mon goût, la compétition n'ayant je crois que peu de vertus à long terme, et fait fuir de nombreux talents.

Je te remercie à nouveau d'avoir pris de ton temps pour me répondre, et te souhaite une agréable soirée. Au plaisir, Hig.

[Hig]

Merci pour ta réponse Ben134.

Oui, j'ai réalisé dès la réponse de mimosa que f'(I) n'était pas nécessairement fermé, ce qui réglait mon problème... Je regarderai ton exemple dès que je peux, qui m'a l'air intéressant !

Bonne soirée !

[beagle]

Bonjour Hig,
il ya d'autres manières de comprendre le: "Je ne vois pas trop ce qui te gêne."

et une manière de comprendre cela c'est que la personne n'est pas certaine d'avoir compris où tu bloquais.
Il m'arrive de demander des explications et on ne me répond pas toujours sur ce que moi je ne voyais pas, sur ce qui bloquait dans le langage, dans les connaissances déjà acquises et celles incomplètes.

que l'amour des maths soit avec toi.
Et avec ton esprit.

[Mimosa]

Bonjour Hig (et les autres)

D'abord merci pour m'avoir signalé la faute de frappe, que j'ai corrigée. Ensuite, je ne portais aucun jugement sur tes connaissances, simplement je disais que je n'étais pas sûre d'avoir compris ton problème, auquel j'ai répondu, ce qui m'a quand même pris un peu de temps! Sur ce genre de forums il est bon de ne pas être trop susceptible, je suis bénévole, je réponds à plusieurs personnes en même temps, il est possible que je manque un peu de patience...

[Ben314]

Sinon, concernant le théorème en question (*), la preuve qui me semble la plus naturelle, c'est quasiment la même que celle du théorème des accroissement finis où on commence par démontrer le cas où f(a)=f(b) : là on commence par le cas où f'(a)<0 et f'(b)>0 où on montre (ce qui est évident sur un dessin) que ni a ni b ne peuvent être des minimum de la fonction f sur [a,b]. Et comme on sait qu'un tel minimum existe, c'est qu'il est entre les deux et que la dérivée s'annule en se point là. Pour le passage au cas général f'(a)<k et f'(b)>k, on fait comme pour le théorème des accroissement finis en prenant la fonction g(x)=f(x)-kx.

(*) Je savais même pas que ça s’appelait "théorème de Darboux" le fait que toute dérivée vérifie le théorème des valeurs intermédiaires...

[Pseuda]

Bonjour,

Il manque l'intonation, dans un message comme celui-ci. Intonation méprisante ou bienveillante ? Dans le doute de l'interprétation d'une phrase comme celle-ci, c'est risqué....

Mais on a vu et on voit encore : "t'es c... ou quoi ?", "retourne au collège", etc...