Théorème de Darboux

[coco7513]

Bonjour, j'essaie de démontrer le théorème de Darboux qui est :
I un intervalle de R et soit f une fonction dérivable de I dans R. Alors f'(I) est un intervalle.

J'ai compris la démonstration dans l'ensemble qui est plutôt un classique mais dans la plupart des livres, en supposant que a<b et f'(a)< f'(b) lorsqu'on prend au tout début un réel c , on le prend dans l'intervalle ouvert ]f'(a);f'(b)[ et non pas dans l'intervalle fermé. (on doit montrer ensuite que c appartient à f'(I) ...)

il me semble que pour la caractérisation des intervalles, I est un intervalle de R ssi pour tout x,y dans I alors l'intervalle fermé [x;y] doit appartenir à I.

J'espère avoir été assez claire...
Merci d'avance pour votre réponse.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Il n'est pas très dur de voir que et appartiennent à , n'est-ce pas? La question ne se pose donc vraiment que pour un .

[Ben314]

Salut,
On pourrait aussi éventuellement se poser la question suivante :

Pour une partie A de R, le fait que "pour tout x<y de A l'intervalle ouvert ]x,y[ est contenu dans A" est-il une caractérisation des intervalles ?

Ton opinion ?