Polynomes de tchebychev [equation différentielle]

[salim]

Sur R, on sait que les polynomes de tchebychev vérifient l'equation différentielle linéeaire du second ordre : (1-x²)Tn"(x) - xTn'(x) + n²Tn(x) = 0

il faut en déduire que la derivée k-ième de Tn prend la valeur
[n*(n+k)!*2^k*k!] / [(n+k)*(n-k)!*(2k)!] en 1 :mur:

Toute idée est la bienvenue
merci d'avance

[palmade]

En faisant x=1 dans l'équa diff il vient
Tn'(1)=n^2 Tn(1) Or Tn(1)=1 (si je me souviens bien...) donc Tn'(1)=n^2
Il faut ensuite dériver successivement l'équa diff initiale, et raisonner par récurrence en donnant à x la valeur 1

[N_comme_Nul]

Salut !

Comme
alors pour , .

[salim]

qu'entend tu par deriver succesivement??? on aboutit a quoi?

[N_comme_Nul]

Salut !

En mauvais élève (généralisation de quelques cas) j'ai trouvé :

[palmade]

L'equa diff ci-dessus se vérifie aisément par récurrence. On en déduit qu'au point 1 le rapport de la dérivée kième à la dérivée (k-1)ième est
(2k-1)/(n^2-(k-1)^2)
D'où la valeur de la dérivée kième
1*3*...*(2k-1)/(n^2*(n^2-1)*...*(n^2-(k-1)^2))
Il ne reste plus qu'à identifier avec la formule proposée