[MPSI] Polynômes de Tchebychev

[Anonyme]

Bonjour à tous,

je bute sur la question suivante : soit R polynôme réel unitaire de
degré n>=1. Mq sup_[-1;1] |R| >= 1/2^(n-1)

sachant qu'on a étudié précedemment le polynôme de Tchebychev
T_0=1
T_1=X
T_n+2=2X*T_(n+1)-T_n
pour lequel on a trouvé :
le coefficient dominant : 2^(n-1),
la relation T_n(cos a) = cos (n*a),
les points de [-1;1] tq |T_n(x)| = 1 (à savoir les arccos(k*pi/n)).

Merci d'avance pour toute idée,

--
Gabriel Kerneis.

[Anonyme]

Gabriel Kerneis a écrit :
> Bonjour à tous,
>
> je bute sur la question suivante : soit R polynôme réel unitaire de
> degré n>=1. Mq sup_[-1;1] |R| >= 1/2^(n-1)

J'oubliais :
on conseille d'étudier R-T_n/2^(n-1). Tout ce que je trouve c'est que
c'est de degré n-1 (au plus).

Merci d'avance,
--
Gabriel Kerneis.

[Anonyme]

Salut
[color=green]
> > je bute sur la question suivante : soit R polynôme réel unitaire de
> > degré n>=1. Mq sup_[-1;1] |R| >= 1/2^(n-1)
>[/color]

Y'a déjà eu un fil sur ça, débuté sur sci.math par ... je dirais bien Amanda
(il y a moins d'un an) et poursuivi sur fr.sci.maths

[Anonyme]

On Mon, 31 May 2004 17:18:28 +0200, Gabriel Kerneis
wrote:

>Bonjour à tous,
>
>je bute sur la question suivante : soit R polynôme réel unitaire de
>degré n>=1. Mq sup_[-1;1] |R| >= 1/2^(n-1)
>
>sachant qu'on a étudié précedemment le polynôme de Tchebychev
>T_0=1
>T_1=X
>T_n+2=2X*T_(n+1)-T_n
>pour lequel on a trouvé :
>le coefficient dominant : 2^(n-1),
>la relation T_n(cos a) = cos (n*a),
>les points de [-1;1] tq |T_n(x)| = 1 (à savoir les arccos(k*pi/n)).
ce ne serait pas plutôt cos(k*pi/n)=x_k

>Merci d'avance pour toute idée,
par l'absurde
et tu considères le polynôme
P=T_n/2^(n-1)-R qui est de degré --
>Gabriel Kerneis.[/color]

*****************

Pichereau Alain

adresse mail antispam
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )

*****************

[Anonyme]

Bonsoir,

> ce ne serait pas plutôt cos(k*pi/n)=x_k

Si bien sûr (je fatigue moi...).
[color=green]
>>Merci d'avance pour toute idée,
>
> par l'absurde
> et tu considères le polynôme
> P=T_n/2^(n-1)-R qui est de degré et en considérant les n+1 P(x_k)
> on doit montrer que P a n racines d'où contra
>
> mais bon là je me suis vite relu[/color]

Je vais voir ça. Merci bien.

--
Gabriel Kerneis.

[Anonyme]

Marc Pichereau wrote:

> On Mon, 31 May 2004 17:18:28 +0200, Gabriel Kerneis
> wrote:
>[color=green]
>>Bonjour à tous,
>>
>>je bute sur la question suivante : soit R polynôme réel unitaire de
>>degré n>=1. Mq sup_[-1;1] |R| >= 1/2^(n-1)
>>
>>sachant qu'on a étudié précedemment le polynôme de Tchebychev
>>T_0=1
>>T_1=X
>>T_n+2=2X*T_(n+1)-T_n
>>pour lequel on a trouvé :
>>le coefficient dominant : 2^(n-1),
>>la relation T_n(cos a) = cos (n*a),
>>les points de [-1;1] tq |T_n(x)| = 1 (à savoir les arccos(k*pi/n)).
> ce ne serait pas plutôt cos(k*pi/n)=x_k
>
>>Merci d'avance pour toute idée,
> par l'absurde
> et tu considères le polynôme
> P=T_n/2^(n-1)-R qui est de degré et en considérant les n+1 P(x_k)
> on doit montrer que P a n racines d'où contra
>
> mais bon là je me suis vite relu[/color]

Ca marche. Le raisonnement s'applique pour l'inegalite large, en comptant
les zeros avec leurs ordres de multiplicite, je crois.

\bye

--

Nicolas FRANCOIS
http://nicolas.francois.free.fr

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