Polynômes de Tchebychev.

[Rock57]

Bonsoir,

J'ai démontré que les n racines réelles des polynômes de Tchebychev de deuxième espèce sont les cos(kpi/n+1) avec k compris entre 1 et n.
Je dois en déduire le produit pour k compris entre 1 et n de cos(kpi/n+1).
Comment faire ? Je crois voir que le produit des racines est égal au coefficient constant du polynôme, mais je ne vois pas comment le déterminer...
Merci à vous.

[Kikoo <3 Bieber]

Bonsoir,

J'ai démontré que les n racines réelles des polynômes de Tchebychev de deuxième espèce sont les cos(kpi/n+1) avec k compris entre 1 et n.
Je dois en déduire le produit pour k compris entre 1 et n de cos(kpi/n+1).
Comment faire ? Je crois voir que le produit des racines est égal au coefficient constant du polynôme, mais je ne vois pas comment le déterminer...
Merci à vous.

Salut,

Je pense avoir une piste :
Si tu as trouvé n racines à un tel polynôme, tu en déduis une factorisation de ce polynôme. Or ce polynôme s'écrit autrement sous la forme d'une somme de monômes. Si maintenant tu prends x=0 dans ton produit de la forme (x-r1)(x-r2)...(x-rn), alors tu te retrouves avec le produit à calculer, dont un (-1)^n
Sinon je pense que tu peux aussi calculer en prenant le complexe

[Rock57]

oui j'ai trouvé qu'on pouvait le factoriser ainsi :

[Kikoo <3 Bieber]

oui j'ai trouvé qu'on pouvait le factoriser ainsi :

Quelle est la forme "polynômiale" de ton polynôme ?

[Rock57]

c'est à dire ? sous la forme a0+a1X+...+anX^n ?

[Kikoo <3 Bieber]

c'est à dire ? sous la forme a0+a1X+...+anX^n ?

Ouaip !

[Rock57]

je ne sais pas faire ça ^^

[Rock57]

Comment fait-on s'il vous plaît ?

[JeanJ]

Quelle est la valeur du pôlynome pour X=0 ? Calculée d'une part avec la forme polynomiale et d'autre part la forme factorisée.

[Rock57]

Avec la forme polynomiale, on a a0.
Avec la forme factorisée, on a : 2^n produit -cos(kpi/n+1) ?

[Rock57]

Comment dois je continuer svp ?