Polynômes positifs

par **legeniedesalpages** » 13 Déc 2007, 22:37

Bonsoir, je bloque sur cet exercice:

On considère dans

le sous-ensemble

des polynômes de la forme

, avec

.

a) Vérifier que

est stable par rapport à la multiplication.

b) Montrer que

.

Je ne vois pas comment résoudre la question a)

Merci pour vos indications

par **tize** » 13 Déc 2007, 22:45

Bonjour,

par **legeniedesalpages** » 13 Déc 2007, 22:53

ah oui d'accord, je viens de comprendre qu'est-ce qui aurait pu te faire penser à ce développement.

Merci Tize :)

par **legeniedesalpages** » 13 Déc 2007, 23:00

pour la b), bon c'est clair que

.

Mais pour l'inclusion réciproque, je vois pas . :hein:

par **bruce.ml** » 13 Déc 2007, 23:35

Salut,

par recurrence sur le degré ça devrait le faire je pense. J'éssaie et je reposte après ;)

par **bruce.ml** » 14 Déc 2007, 01:28

ça a l'air de fonctionner pas trop mal, on va donc démontrer par récurrence que

.

Si

OK.

Supposons que tout polynome de degré pair inférieur à 2n se décompose bien, et soit P un polynôme positif de degré 2n+2. Considérons la décomposition en facteurs irréductibles de P. Tous les facteurs sont positifs, donc décomposables en somme de carrés. et voilà !

par **legeniedesalpages** » 14 Déc 2007, 01:41

bruce.ml a écrit:ça a l'air de fonctionner pas trop mal, on va donc démontrer par récurrence que .

Si OK.

Supposons que tout polynome de degré pair inférieur à 2n se décompose bien, et soit P un polynôme positif de degré 2n+2. Considérons la décomposition en facteurs irréductibles de P. Tous les facteurs sont positifs, donc décomposables en somme de carrés. et voilà !

Salut, mais comment tu en déduis que leurs facteurs sont positifs?

par **legeniedesalpages** » 14 Déc 2007, 01:44

ah c'est pas à cause du fait que dans la décomposition en facteurs irréductibles, on les choisis avec le coeff dominant =1? et qu'on envoie le signe plutôt sur l'inversible qui est dans la décomposition?

par **bruce.ml** » 14 Déc 2007, 01:59

Ben les facteurs de degré 1, sont forcément à une puissance paire, sinon le polynome changerait de signe autour de la racine. Ensuite les facteurs de degré 2 sont irréductibles donc de signe constant. Ensuite il faut s'arranger pour mettre des -1 là où il faut pour qu'ils soient tous positifs :)

par **legeniedesalpages** » 14 Déc 2007, 02:08

ah d'accord

merci bruce :)

par **legeniedesalpages** » 14 Déc 2007, 02:16

bruce.ml a écrit:Ben les facteurs de degré 1, sont forcément à une puissance paire, sinon le polynome changerait de signe autour de la racine. Ensuite les facteurs de degré 2 sont irréductibles donc de signe constant. Ensuite il faut s'arranger pour mettre des -1 là où il faut pour qu'ils soient tous positifs

oui d'aillleurs je viens d'y penser, vu qu'on considère des polynômes dans la décomposition en facteur irréductibles qui sont normalisés, les polynômes de degré 2 sont donc positifs (puisqu'ils sont du signe de leur coefficient dominant)

par **legeniedesalpages** » 14 Déc 2007, 02:23

Ah oui mais là on suppose que ça marche pour les polynômes de degrés 1 et 2 et donc il faut le montrer aussi me semble't il.

par **tize** » 14 Déc 2007, 10:59

Bonjour,
je n'ai pas tout lu mais il est clair qu'un polynôme de degré 1 n'est pas dans

...sinon pour un polynôme de degré 2 dans

, soit il a une racine double et s'écrit alors

soit il n'a pas de racine et s'écrit : avec a>0 (forcément sinon problème à l'infini) :

le dernier terme étant un carré puisqu'il est positif puisque le polynôme n'a pas de racine.

par **bruce.ml** » 14 Déc 2007, 12:35

La propriété est fausse pour tout polynome de degré impair ! J'ai prouvé qu'un polynome de degré 0 était bien dans C. Et dans la recurrence je dis pourquoi un polynôme de degré 2 y est aussi !

par **Lierre Aeripz** » 14 Déc 2007, 13:02

La démonstration est juste, mais ce n'est pas du tout une démonstration par récurrence... On déduit le cas général de l'étude des polynômes de degré 2 seulement.

par **bruce.ml** » 14 Déc 2007, 14:01

Lierre Aeripz a écrit:La démonstration est juste, mais ce n'est pas du tout une démonstration par récurrence... On déduit le cas général de l'étude des polynômes de degré 2 seulement.

Je ne suis pas d'accord, ma démonstration est par recurrence. La preuve suivante est faite par recurrence :

montrons que

.
Si n = 0, alors 0 = 0. ok
Supposons que pour n fixé, 0=0, alors 0=0. D'où l'hérédité.

J'ai bien prouvé par recurrence sur n que pout tout n, 0=0.

Alors en effet la recurrence n'est peut être pas indispensable, mais c'est tout de même une recurrence :marteau:. Ici cependant mes facteurs irreductibles peuvent être élevés à une certaine puissance, donc j'utilse quand même l'hypothèse de recurrence !

par **tize** » 14 Déc 2007, 16:02

Bruce.ml a raison, c'est bien une démonstration par récurrence, le cas degré 2n+2 se déduit des cas de degrés pairs inférieurs grace au cas degré 2...

par **legeniedesalpages** » 14 Déc 2007, 21:01

ok merci pour toutes vos indications.

par **theexpert69** » 14 Déc 2007, 22:19

salut je voudrai savoir si vous pouviez aidez dans le forum lycée celui ki a le pseudo ilovemaths svp le pauvre il na pa de réponde te je ne peux l'aider car je galere autant ke lui !!!

par **Lierre Aeripz** » 16 Déc 2007, 23:24

bruce.ml a écrit:Je ne suis pas d'accord, ma démonstration est par recurrence. La preuve suivante est faite par recurrence :

montrons que .
Si n = 0, alors 0 = 0. ok
Supposons que pour n fixé, 0=0, alors 0=0. D'où l'hérédité.

J'ai bien prouvé par recurrence sur n que pout tout n, 0=0.

Ce n'est pas parce que syntaxiquement une preuve est faite par récurrence que c'est intrinsèquement une preuve par récurrence.
Il ne fait pas bon en maths de se réfugier dans des "en toute rigueur j'ai raison", on passe souvent à côté d'un contenu intéressant.
Il me paraît essentiel de savoir quand utilise-t-on le principe de récurrence et quand en l'utilise-t-ton pas.
La logique n'est pas faite pour être utilisée de manière illogique, comme c'est le cas dans ton exemple.

bruce.ml a écrit:Alors en effet la recurrence n'est peut être pas indispensable, mais c'est tout de même une recurrence :marteau:. Ici cependant mes facteurs irreductibles peuvent être élevés à une certaine puissance, donc j'utilse quand même l'hypothèse de recurrence !

Certes, mais tes facteurs irréductibles sont de degrés deux, et s'il y a stabilité par multiplication, il y a stabilité par élévation à la puissance n, pour tout n.

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