Polynômes maths spé

[qsdwa]

Bonjour,

Je bloque sur l'exercice suivant :

Déterminer (a, b, c) dans Q pour qu'ils soient racines de X³ + aX² + bX + c

J'en tire trois équations :
2a³ + ba + c = 0
b³ + ab² + ba + c = 0
c³ + ac² + bc + c = 0

On peut factoriser la dernière équation par c, mais la suite me paraît laborieuse.. peut-être que je suis sur la mauvaise piste ?

Merci

[Pisigma]

Bonjour,

je pense qu'il y a une petite erreur dans ta 2e ligne; c'est

[qsdwa]

Oui, effectivement, j'ai mal recopié mon brouillon, merci !
Mais je bloque toujours autant

[hdci]

Bonjour,
Si l'énoncé ne demande pas de trouver toutes les solutions possibles ("déterminer trois rationnels..." mais pas "déterminer tous les triplets de rationnels..."), alors il y a un triplet évident :

[qsdwa]

Bonjour,
Si l'énoncé ne demande pas de trouver toutes les solutions possibles ("déterminer trois rationnels..." mais pas "déterminer tous les triplets de rationnels..."), alors il y a un triplet évident :

Bonjour,
J'ai recopié l'énoncé tel quel, mai je pense que le but de l'exercice se porte plutôt sur la recherche de tous les triplets

[Pisigma]

peur-être tirer c de la 1ère équation et remplacer dans les 2 autres

[hdci]

En poursuivant plus loin, si on cherche les solutions possibles avec , on peut faire des simplifications et on en tire



En supposant (donc par la première ligne), on aboutit à une équation du second degré en qui n'a pas de racines rationnelles...

(Correction : OUPS, c'est faux ce que j'ai écrit ici, en fait il y a donc des racines rationnelles... Le temps de corriger... Voir plus bas)

Donc et en supposant on trouve une unique solution qui est

D'où un second triplet est et est bien solution de

[Pisigma]

ma piste conduisait à des calculs trop compliqués; avec c=0 c'est mieux mais pas simple

[hdci]

A ce stade j'arrive effectivement à deux solutions, et qui sont les deux seules solutions où

Si j'ai regardé la piste suggérée par Psigma, mais on arrive à des équations du 3ème degré en ou en , ou à une équation du second degré en mais qui est trop affreuse pour être détaillée...

[qsdwa]

A ce stade j'arrive effectivement à deux solutions, et qui sont les deux seules solutions où

Si j'ai regardé la piste suggérée par Psigma, mais on arrive à des équations du 3ème degré en ou en , ou à une équation du second degré en mais qui est trop affreuse pour être détaillée...

Merci à vous, la démarche est très claire. Pour le cas c ≠ 0, on pourrait également passer par la dernière ligne de mon système initial, et on arrive à du second degré en c.. mais alors il y a de nouveau une disjonction de cas selon la valeur sur discriminant, et je pense aussi obtenir des expressions assez affruses..

[hdci]

Après correction de mon erreur (trois ou quatre post plus haut), dans le cas on obtient d'une part puis par substitution


Ce qui donne deux solutions : et
Alors on a respectivement et

D'où finalement les 4 solutions avec

[pascal16]

je pige pas votre méthode.
je développe (x-a)(x-b)(x-c)
j'ai le système
-abc=c
ab+bc+ca=b
2a+b+c=0

c=0 me donne (0,0,0) et (1,-2,0) comme solution

c non nul donne
ab=-1
ab+bc+ca=b
2a+b+c=0

[hdci]

c=0 me donne (0,0,0) et (1,-2,0) comme solution

C'est vrai à condition de considérer que a, b et c sont les seules racines (éventuellement multiples)
Mais on pourrait avoir racine simple donc le polynôme s'écrivant (x-a)(x-c)(x-d), d'où la solution avec , le polynôme s'écrivant et ayant 3, dont l'une n'est ni ni ni

Ceci dit, en supposant que sont les seules racines, et avec qui en déduit donc a et b non nuls, le sstème devient



C'est-à-dire (sauf erreur...)



Les deux discriminants doivent être des carrés de rationnels : en particulier celui de la seconde ligne est est un carré rationnel dès lors que est rationnel et celui de la troisième ligne est qui est rationnel pour , on trouve ainsi d'autres solutions potentielles en et en :

Si , la dernière ligne nous donne ou et la seconde ligne donne ou : ce n'est donc pas possible.
si c=-1 la dernière ligne donne ou et la seconde ligne donne ou , c'est donc
On en tire et cette solution

Pour terminer, il faudrait montrer que et un carré rationnel ssi

[Lostounet]

Bonjour,

Je bloque sur l'exercice suivant :

Déterminer (a, b, c) dans Q pour qu'ils soient racines de X³ + aX² + bX + c

J'en tire trois équations :
2a³ + ba + c = 0
b³ + ab² + ba + c = 0
c³ + ac² + bc + c = 0

On peut factoriser la dernière équation par c, mais la suite me paraît laborieuse.. peut-être que je suis sur la mauvaise piste ?

Merci

Salut,
En employant l'artillerie lourde des bases de Grobner sur SAGE dans l'idéal de l'anneau des polynomes multivariés, j'ai trouvé que c est solution de:

c * (c - 1) * (2*c^2 + c + 1) * (c^3 + 2*c - 1) * (4*c^4 - 4*c^3 + 6*c^2 - 2*c + 1) * (c^8 + 2*c^7 + 6*c^6 + 10*c^5 + 20*c^4 + 12*c^3 + 26*c^2 + 8) = 0

Il suffit donc de voir laquelle des valeurs de c est dans Q pour commencer.
Tout compte fait, les seules solutions rationnelles semblent être: